大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$$c=\cos \theta ,s=\sin \theta$$ とおく。条件 $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $0<c<1,0<s<1$ である。

交点 $P$ の座標を求める。$u=x^2$，$v=y^2$ とおくと，2曲線の式は $u+3v=3$ および $${\displaystyle \frac{u}{c^2}-\frac{v}{s^2}=2}$$ である。第1式から $u=3-3v$ であり，これを第2式に代入すると $${\displaystyle \frac{3-3v}{c^2}-\frac{v}{s^2}=2}$$ である。両辺に $c^2{s}^2$ を掛けて $3s^2-3v{s}^2-v{c}^2=2c^2{s}^2$ となる。したがって $v(3s^2+c^2)=s^2(3-2c^2)$ である。$c^2+s^2=1$ より $$3s^2+c^2=1+2s^2,3-2c^2=1+2s^2$$ だから $v=s^2$ である。よって $y>0$ より $y=s$ であり，第1式から $x^2=3-3s^2=3c^2$ なので，$x>0$ より $x=\sqrt{3}c$ である。したがって $P=(\sqrt{3}c,s)$ である。

次に接線を求める。$C_1:x^2+3y^2=3$ の点 $(x_0,y_0)$ における接線は $x_{0}x+3y_{0}y=3$ である。$P=(\sqrt{3}c,s)$ を代入して $l_1:\sqrt{3}cx+3sy=3$ である。$y$ 軸との交点では $x=0$ なので $3sy=3$ より $${\displaystyle Q=(0,\frac{1}{s})}$$ である。

また，$C_2:x^2\mathrm{/}{c}^2-y^2\mathrm{/}{s}^2=2$ の点 $(x_0,y_0)$ における接線は $${\displaystyle \frac{x_{0}x}{c^2}-\frac{y_{0}y}{s^2}=2}$$ である。したがって $${\displaystyle l_2:\frac{\sqrt{3}c}{c^2}x-\frac{s}{s^2}y=2}$$ すなわち $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{c}x-\frac{1}{s}y=2}$$ である。$x=0$ とすると $${\displaystyle -\frac{1}{s}y=2}$$ だから $R=(0,-2s)$ である。

よって線分 $QR$ の長さは $${\displaystyle QR=\frac{1}{s}-(-2s)=\frac{1}{s}+2s}$$ である。$0<s<1$ でこれを最小にする。相加相乗平均より $${\displaystyle \frac{1}{s}+2s\geqq 2\sqrt{\frac{1}{s}\cdot 2s}=2\sqrt{2}}$$ である。等号は $${\displaystyle \frac{1}{s}=2s}$$ すなわち $${\displaystyle s=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$ のとき成り立つ。この値は $0<s<1$ を満たす。

したがって求める最小値は $2\sqrt{2}$ である。

交点と2本の接線

最小時は $\sin \theta =1\mathrm{/}\sqrt{2}$。$Q,R$ は2本の接線の $y$ 切片。