阪大 2007年度理系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

大阪大学 2007年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問

自然数 $r$ と負でない整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}$ が次の4条件を満たすとする。 $r ≧ 3, \sum_{k = 1}^{r} k a_{k} = 24, a_{1} + a_{2} + \dots + a_{r} ≧ 20, a_{r} > 0.$ (1) $a_{2} + 2 a_{3} + \dots + (r - 1) a_{r} ≦ 4$ を示せ。

(2) $r ≦ 5$ を示せ。

(3) 条件を満たす $r$ と，そのときの $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}$ の組を全て求めよ。

注：原問題(1)の末項 $(r + 1) a_{r}$ は，条件式および後続小問に合わせて $(r - 1) a_{r}$ と訂正して掲載した。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安20分

方針

(1) は重み付き和から通常の和を引く。(2)は得られた非負整数の和のうち最後の項だけを残す。(3)は $3 ≦ r ≦ 5$ の各場合に，(1)で得た重み付き和の上限と $a_{r} > 0$ を使って末尾から列挙し，最後に $a_{1}$ を元の等式で決める。

解答

(1) 与えられた等式と不等式から $\begin{aligned} a_{2} + 2 a_{3} + \dots + (r - 1) a_{r} & = \sum_{k = 1}^{r} k a_{k} - \sum_{k = 1}^{r} a_{k} \\ ≦ 24 - 20 = 4. \end{aligned}$ (2) 全ての $a_{k}$ は負でなく， $a_{r} > 0$ は整数だから $a_{r} ≧ 1$ である。(1)の左辺の最後の項に注目すると $r - 1 ≦ (r - 1) a_{r} ≦ 4.$ よって $r ≦ 5$ である。

(3) (1)(2)より $r = 3, 4, 5$ を調べればよい。

$r = 5$ のとき， $a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} + 4 a_{5} ≦ 4, a_{5} ≧ 1$ だから $a_{5} = 1, a_{2} = a_{3} = a_{4} = 0$ である。元の等式から $a_{1} = 19$ となる。

$r = 4$ のとき， $a_{4} ≧ 1$ と $a_{2} + 2 a_{3} + 3 a_{4} ≦ 4$ より $a_{4} = 1, a_{3} = 0, a_{2} = 0$ または1である。元の等式から $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (20, 0, 0, 1), (18, 1, 0, 1)$ を得る。

$r = 3$ のとき $a_{2} + 2 a_{3} ≦ 4, a_{3} ≧ 1$ である。 $a_{3} = 1$ なら $a_{2} = 0, 1, 2$ ， $a_{3} = 2$ なら $a_{2} = 0$ である。したがって $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (21, 0, 1), (19, 1, 1), (17, 2, 1), (18, 0, 2)$ である。

以上の7組はいずれも元の4条件を満たすので，これらが全てである。

総評

難度5，計算量5。想定時間は20分程度。重み付き和と項数の和の差が4以下になることが全小問を支配する。 $a_{r}$ が正の整数であるため $r$ が5以下に絞れ，その後は $r = 5, 4, 3$ の順に末尾係数を列挙すると漏れがない。最後に各候補を元の等式へ戻す。

出典: 大阪大学 2007年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

方針

解答

総評

大阪大学 2007年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問