大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $C$と$L$の交点では $$\mid \frac{1}{2}{x}^2-6\mid -2x=-x+t$$ すなわち $$\mid \frac{1}{2}{x}^2-6\mid =x+t$$ が成り立つ。

まず$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2\sqrt{3}$のとき，$x^2\mathrm{/}2-6\geqq 0$であるから $\frac{1}{2}{x}^2-6=x+t$ であり，$x^2-2x-12-2t=0$ を得る。この2根は $$x=1\pm \sqrt{13+2t}$$ である。

次に$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2\sqrt{3}$のとき，$x^2\mathrm{/}2-6<0$であるから $-\frac{1}{2}{x}^2+6=x+t$ であり，$x^2+2x+2t-12=0$ を得る。この2根は $$x=-1\pm \sqrt{13-2t}$$ である。

4つの異なる交点をもつには，外側の方程式の2根がそれぞれ$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2\sqrt{3}$に入り，内側の方程式の2根が$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2\sqrt{3}$に入り，さらに内側の2根が実数でなければならない。境界$x=-2\sqrt{3}$で外側と内側が重なる値は $t=2\sqrt{3}$ であり，ここでは異なる4点にならない。内側の2根が実数であるためには $13-2t>0$ すなわち$t<13\mathrm{/}2$が必要である。これらを合わせると である。

(2)
(1)の範囲で $$D=\sqrt{13+2t},E=\sqrt{13-2t}$$ とおく。このとき4つの交点の$x$座標は小さい順に $1-D,-1-E,-1+E,1+D$ である。実際，$t>2\sqrt{3}$のとき$D-E>2$となるので，この順序になる。

4点はいずれも直線$L:y=-x+t$上にある。したがって，2点間の距離は$x$座標の差に共通の係数$\sqrt{2}$を掛けたものであり，距離比は$x$座標差だけで計算できる。よって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_1{P}_2}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(D-E-2),$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_2{P}_3}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(2E),$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{P_3{P}_4}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}(D-E+2)$$ である。条件は $$\frac{(D-E-2)+(D-E+2)}{2E}=4$$ すなわち $D=5E$ である。したがって $13+2t=25(13-2t)$ となり，$52t=312$ より である。これは(1)の範囲に入っている。

(3) $t=6$のとき，$E=1$であるから$P_2,P_3$の$x$座標は $-2,0$ である。この区間では$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2\sqrt{3}$なので，曲線$C$は $y=-\frac{1}{2}{x}^2+6-2x$ である。一方，直線$L$は $y=-x+6$ である。 $-2<x<0$では $$(-\frac{1}{2}{x}^2+6-2x)-(-x+6)=-\frac{1}{2}{x}^2-x>0$$ であり，曲線$C$が線分$P_2{P}_3$より上にある。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^0(-\frac{1}{2}{x}^2-x)dx}& {\displaystyle ={[-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}]}_{-2}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}}\end{array}$$である。

よって面積は $\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mfrac>}$ である。

交点方程式を$G(x)=t$と見て，折れ目をもつ2本の放物線と水平線の交点数として処理する。(1)は各枝の値域から4交点条件を読む。(2)は外側・内側の放物線の水平弦の半幅を$D,E$とし，直線上の3区間の長さを比較する。(3)は曲線と弦の差を頂点形へ直して対称積分する。

$C$と$L$の交点条件を$$G(x):=\mid \frac{x^2}{2}-6\mid -x=t$$と書く。$G$は$$\begin{array}{cccc}& G(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{13}{2}},& \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2\sqrt{3},\\ {\displaystyle \frac{13}{2}}-{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{2}},& \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2\sqrt{3}\end{array}& & \text{(1)}\end{array}$$である。

(1) 左外側の枝$x\leqq -2\sqrt{3}$の値域は$[2\sqrt{3},\mathrm{\infty })$，右外側の枝$x\geqq 2\sqrt{3}$の値域は$[-2\sqrt{3},\mathrm{\infty })$である。内側の下に凸でない放物線は$x=-1$で最大値$13\mathrm{/}2$を取り，左端で$2\sqrt{3}$，右端で$-2\sqrt{3}$となる。

したがって水平線$y=t$が外側の2枝と1点ずつ，内側の枝と2点で交わり，境界点で重ならないための条件はである。

(2) $$D=\sqrt{13+2t},E=\sqrt{13-2t}$$とおく。(1)の2つの放物線の水平弦から，4交点の$x$座標は$$1-D,-1-E,-1+E,1+D$$の順である。4点は傾き$-1$の同一直線上にあるので，距離比ではすべての$x$座標差に共通する$\sqrt{2}$が消える。よって条件は$$\frac{(D-E-2)+(D-E+2)}{2E}=4,$$すなわち$D=5E$である。両辺を2乗して$$13+2t=25(13-2t)$$よりを得る。

(3) $t=6$では$P_2,P_3$の$x$座標は$-2,0$である。この区間で曲線と線分の高さの差は$$-\frac{x^2}{2}-x=\frac{1}{2}\{1-(x+1{)}^2\}$$である。したがって$u=x+1$と置けば，面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(1-u^2)du}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{[u-\frac{u^3}{3}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mfrac>}\mathrm{.}}\end{array}$$