大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

頂点の $x$ 座標を $h$ とする。放物線は$$y=q-(x-h{)}^2$$と書ける。$q>0$ であるから、$x$ 軸との交点は$$x=h-\sqrt{q},x=h+\sqrt{q}$$である。この区間では放物線が $x$ 軸より上にあるので$$S={\int }_{h-\sqrt{q}}^{h+\sqrt{q}}\{q-(x-h{)}^2\}dx\mathrm{.}$$$u=x-h$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{q}}^{\sqrt{q}}(q-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[qu-\frac{u^3}{3}]}_{-\sqrt{q}}^{\sqrt{q}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(q\sqrt{q}-\frac{q\sqrt{q}}{3})=\frac{4}{3}q\sqrt{q}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S=\frac{4}{3}q\sqrt{q}$$である。

高さ $y$ の水平線で図形を切る。頂点からの高さの差が $q-y$ なので、その高さにおける横幅は $2\sqrt{q-y}$ となる。横幅を $0\leqq y\leqq q$ で積分する。

放物線を$$y=q-(x-h{)}^2$$と書く。高さ $y$ における図形の左右の端は$$x=h\pm \sqrt{q-y}$$であるから、横幅は$$2\sqrt{q-y}$$である。したがって、水平な細片を積み上げると$$S={\int }_0^{q}2\sqrt{q-y}dy\mathrm{.}$$$v=q-y$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{q}2\sqrt{v}dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[\frac{4}{3}{v}^{3\mathrm{/}2}\right]}_0^q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}q\sqrt{q}\mathrm{.}}\end{array}$$この計算からも、面積は頂点の横位置 $h$ に依存しないことが分かる。