大阪大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

$b, c$ を実数、 $q$ を正の実数とする。放物線

P : y = - x^{2} + b x + c

の頂点の $y$ 座標が $q$ のとき、放物線 $P$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を $q$ を用いて表せ。

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第1問

頂点の $x$ 座標を $h$ とおき、放物線を頂点形式 $y = q - (x - h)^{2}$ に直す。 $x$ 軸との2交点を求め、平行移動 $u = x - h$ により対称区間の定積分へ帰着する。

高さ $y$ の水平線で図形を切る。頂点からの高さの差が $q - y$ なので、その高さにおける横幅は $2 q - y$ となる。横幅を $0 ≦ y ≦ q$ で積分する。

頂点の $x$ 座標を $h$ とする。放物線は

y = q - (x - h)^{2}

と書ける。 $q > 0$ であるから、 $x$ 軸との交点は

x = h - q, x = h + q

である。この区間では放物線が $x$ 軸より上にあるので

S = \int_{h - q}^{h + q} {q - (x - h)^{2}} d x .

$u = x - h$ とおくと

S = \int_{- q}^{q} (q - u^{2}) d u = [q u - \frac{u ^{3}}{3}]_{- q}^{q} = 2 (q q - \frac{q q}{3}) = \frac{4}{3} q q .

したがって

S = \frac{4}{3} q q

である。

放物線を

y = q - (x - h)^{2}

と書く。高さ $y$ における図形の左右の端は

x = h \pm q - y

であるから、横幅は

2 q - y

である。したがって、水平な細片を積み上げると

S = \int_{0}^{q} 2 q - y d y .

$v = q - y$ とおけば

S = \int_{0}^{q} 2 v d v = [\frac{4}{3} v^{3/2}]_{0}^{q} = \frac{4}{3} q q .

この計算からも、面積は頂点の横位置 $h$ に依存しないことが分かる。