大阪大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 8 a_{n}^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。

(1) $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ とおく。 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ を用いて表せ。

(2) 数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ。

(3) $P_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ とおく。数列 ${P_{n}}$ の一般項を求めよ。

(4) $P_{n} > 1 0^{100}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

出典：大阪大学 2017年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

$a_{n + 1} = 8 a_{n}^{2}$ はそのままだと指数が急増するので， $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ で線形漸化式に直す。 $b_{n + 1} + 3 = 2 (b_{n} + 3)$ として一般項を求め， $P_{n}$ は $2$ を底とする指数の和に変換する。最後の大小比較では指数 $E_{n} = 2^{n + 2} - 4 - 3 n$ が増加することを押さえ， $n = 6, 7$ だけを具体的に比較する。

解法2

まず $b_{n} = 2^{n + 1} - 3$ を予想して数学的帰納法で確定する。次に $P_{n}$ の指数についても、積を展開せず $P_{n + 1} = P_{n} a_{n + 1}$ を使う帰納法で一般式を証明する。最後は指数の単調性と $2^{10}$ の評価で $n = 6, 7$ を比較する。

解答

解法1

(1)

$a_{n} > 0$ であるから $b_{n} = lo g_{2} a_{n}$ は定義できる。漸化式より $b_{n + 1} = lo g_{2} (8 a_{n}^{2}) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} a_{n}^{2} = 3 + 2 b_{n}$ である。

(2)

(1)の式を $b_{n + 1} + 3 = 2 (b_{n} + 3)$ と変形する。 $a_{1} = 2$ より $b_{1} = 1$ なので $b_{1} + 3 = 4$ である。したがって $b_{n} + 3$ は初項 $4$ ，公比 $2$ の等比数列であり $b_{n} + 3 = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$ となる。よって $b_{n} = 2^{n + 1} - 3$ である。

(3)

$a_{n} = 2^{b_{n}}$ であるから $P_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} = 2^{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}}$ である。ここで

b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = k = 1 \sum n (2^{k + 1} - 3) = (2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n + 1}) - 3 n = (2^{n + 2} - 4) - 3 n

である。したがって $P_{n} = 2^{2^{n + 2} - 4 - 3 n}$ である。

(4)

$E_{n} = 2^{n + 2} - 4 - 3 n$ とおくと， $P_{n} = 2^{E_{n}}$ である。また $E_{n + 1} - E_{n} = 2^{n + 2} - 3 > 0$ なので， $E_{n}$ は増加する。 $n = 6$ のとき $E_{6} = 2^{8} - 4 - 18 = 234$ である。 $2^{10} = 1024 < 1 0^{4}$ より $2^{234} = 2^{4} (2^{10})^{23} < 16 \cdot 1 0^{92} < 1 0^{100}$ だから， $n ≦ 6$ では条件を満たさない。 $n = 7$ のとき $E_{7} = 2^{9} - 4 - 21 = 487$ である。 $2^{10} = 1024 > 1 0^{3}$ より $2^{487} = 2^{7} (2^{10})^{48} > 128 \cdot 1 0^{144} > 1 0^{100}$ だから， $n = 7$ では条件を満たす。したがって求める最小の自然数は $7$ である。

解法2

(1)

漸化式の両辺の2を底とする対数をとると

b_{n + 1} = lo g_{2} (8 a_{n}^{2}) = 3 + 2 b_{n} .

(2)

初期値は $b_{1} = 1$ である。小さい $n$ を計算すると

b_{1} = 1, b_{2} = 5, b_{3} = 13

となるので

b_{n} = 2^{n + 1} - 3

と予想できる。 $n = 1$ では正しい。また $b_{n} = 2^{n + 1} - 3$ と仮定すると

b_{n + 1} = 3 + 2 b_{n} = 3 + 2 (2^{n + 1} - 3) = 2^{n + 2} - 3

である。よって数学的帰納法により

b_{n} = 2^{n + 1} - 3

が成り立つ。

(3)

$a_{n} = 2^{b_{n}}$ より

a_{n} = 2^{2^{n + 1} - 3} .

ここで

P_{n} = 2^{2^{n + 2} - 4 - 3 n}

を帰納法で示す。 $n = 1$ では右辺は $2^{8 - 4 - 3} = 2 = a_{1}$ で正しい。これが $n$ で成り立つとすると

P_{n + 1} = P_{n} a_{n + 1} = 2^{2^{n + 2} - 4 - 3 n} 2^{2^{n + 2} - 3} = 2^{2^{n + 3} - 4 - 3 (n + 1)} .

したがって

P_{n} = 2^{2^{n + 2} - 4 - 3 n} .

(4)

指数

E_{n} = 2^{n + 2} - 4 - 3 n

は

E_{n + 1} - E_{n} = 2^{n + 2} - 3 > 0

より増加する。

E_{6} = 234, E_{7} = 487.

$2^{10} < 1 0^{4}$ より

2^{234} = 2^{4} (2^{10})^{23} < 16 \cdot 1 0^{92} < 1 0^{100},

一方 $2^{10} > 1 0^{3}$ より

2^{487} = 2^{7} (2^{10})^{48} > 128 \cdot 1 0^{144} > 1 0^{100} .

よって求める最小の自然数は

n = 7

である。

大阪大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

大阪大学 2017年度
文系数学第3問