大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $a_n>0$であるから$b_n={\log }_2{a}_n$は定義できる。漸化式より $$b_{n+1}={\log }_2(8a_n^2)={\log }_{2}8+{\log }_2{a}_n^2=3+2b_n$$ である。

(2)
(1)の式を $b_{n+1}+3=2(b_n+3)$ と変形する。$a_1=2$より$b_1=1$なので $b_1+3=4$ である。したがって$b_n+3$は初項$4$，公比$2$の等比数列であり $$b_n+3=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$$ となる。よって $b_n=2^{n+1}-3$ である。

(3) $a_n=2^{b_n}$であるから $$P_n=a_1{a}_2\cdots a_n=2^{b_1+b_2+\cdots +b_n}$$ である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_1+b_2+\cdots +b_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(2^{k+1}-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^2+2^3+\cdots +2^{n+1})-3n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{n+2}-4)-3n}\end{array}$$である。したがって $P_n=2^{2^{n+2}-4-3n}$ である。

(4) $E_n=2^{n+2}-4-3n$ とおくと，$P_n=2^{E_n}$である。また $E_{n+1}-E_n=2^{n+2}-3>0$ なので，$E_n$は増加する。 $n=6$のとき $E_6=2^8-4-18=234$ である。$2^{10}=1024<{10}^4$より $$2^{234}=2^4(2^{10}{)}^{23}<16\cdot {10}^{92}<{10}^{100}$$ だから，$n\leqq 6$では条件を満たさない。 $n=7$のとき $E_7=2^9-4-21=487$ である。$2^{10}=1024>{10}^3$より $$2^{487}=2^7(2^{10}{)}^{48}>128\cdot {10}^{144}>{10}^{100}$$ だから，$n=7$では条件を満たす。したがって求める最小の自然数は $7$ である。

まず $b_n=2^{n+1}-3$ を予想して数学的帰納法で確定する。次に $P_n$ の指数についても、積を展開せず $P_{n+1}=P_n{a}_{n+1}$ を使う帰納法で一般式を証明する。最後は指数の単調性と $2^{10}$ の評価で $n=6,7$ を比較する。

(1)
漸化式の両辺の2を底とする対数をとると$$b_{n+1}={\log }_2(8a_n^2)=3+2b_n\mathrm{.}$$(2)
初期値は $b_1=1$ である。小さい $n$ を計算すると$$b_1=1,b_2=5,b_3=13$$となるので$$b_n=2^{n+1}-3$$と予想できる。$n=1$ では正しい。また $b_n=2^{n+1}-3$ と仮定すると$$b_{n+1}=3+2b_n=3+2(2^{n+1}-3)=2^{n+2}-3$$である。よって数学的帰納法により$$b_n=2^{n+1}-3$$が成り立つ。

(3)
$a_n=2^{b_n}$ より$$a_n=2^{2^{n+1}-3}\mathrm{.}$$ここで$$P_n=2^{2^{n+2}-4-3n}$$を帰納法で示す。$n=1$ では右辺は $2^{8-4-3}=2=a_1$ で正しい。これが $n$ で成り立つとすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_{n+1}}& {\displaystyle =P_n{a}_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2^{n+2}-4-3n}{2}^{2^{n+2}-3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{2^{n+3}-4-3(n+1)}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$P_n=2^{2^{n+2}-4-3n}\mathrm{.}$$(4)
指数$$E_n=2^{n+2}-4-3n$$は$$E_{n+1}-E_n=2^{n+2}-3>0$$より増加する。$$E_6=234,E_7=487.$$$2^{10}<{10}^4$ より$$2^{234}=2^4(2^{10}{)}^{23}<16\cdot {10}^{92}<{10}^{100},$$一方 $2^{10}>{10}^3$ より$$2^{487}=2^7(2^{10}{)}^{48}>128\cdot {10}^{144}>{10}^{100}\mathrm{.}$$よって求める最小の自然数は$$n=7$$である。