大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

2つの条件の差をとると$$y+2z=4.$$したがって$$y=4-2z,x=z-3$$である。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz}& {\displaystyle =(z-3{)}^3+(4-2z{)}^3+z^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -3(z-3)(4-2z)z}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9z^2-33z+37}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9{(z-\frac{11}{6})}^2+\frac{27}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$$z$ は任意の実数をとるので、最小値は$$\frac{27}{4}$$であり、$z=11\mathrm{/}6$ のときに達成される。

(2) $$F(z)=xyz=(z-3)(4-2z)z=-2z^3+10z^2-12z$$とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(z)=-2(3z^2-10z+6)\mathrm{.}$$停留点は$$z=\frac{5-\sqrt{7}}{3},z=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$$である。$z\geqq 0$ で $F$ は順に減少、増加、減少し、$$F(0)=0,\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(z)=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$また$$2<\frac{5+\sqrt{7}}{3}<3$$なので、この点では $x<0,y<0,z>0$ となり $F(z)>0$ である。したがって最大となる $z$ は$$z=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$$である。

(1) は3次式の恒等式で平方和へ変える。(2)は積が正になりうる区間を先に $2<z<3$ に絞り、$u=3-z$ によって閉区間 $0\leqq u\leqq 1$ 上の積 $2u(1-u)(3-u)$ を最大化する。

条件から$$x=z-3,y=4-2z$$である。

(1)
恒等式$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\}$$を用いる。$x+y+z=1$ なので$$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2}{2}\mathrm{.}$$ここへ $x=z-3,y=4-2z$ を代入すると$$\frac{(3z-7{)}^2+(4-3z{)}^2+3^2}{2}=9{(z-\frac{11}{6})}^2+\frac{27}{4}\mathrm{.}$$よって最小値は$$\frac{27}{4}\mathrm{.}$$(2)
$0\leqq z\leqq 2$ では $x\leqq 0,y\geqq 0$ だから $xyz\leqq 0$。$z\geqq 3$ では $x\geqq 0,y\leqq 0$ だから、やはり $xyz\leqq 0$ である。一方、$2<z<3$ では $x<0,y<0$ なので $xyz>0$。したがって最大値は $2<z<3$ で生じる。$$u=3-z(0<u<1)$$とおくと$$x=-u,y=-2(1-u),z=3-u$$であり$$xyz=2u(1-u)(3-u)\mathrm{.}$$$G(u)=u(1-u)(3-u)$ とおけば$$G^{\mathrm{\prime }}(u)=3u^2-8u+3.$$$0<u<1$ にある停留点は$$u=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$$だけであり、両端では積が0なのでここで最大となる。したがって$$z=3-u=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$