大阪大学 2017年度
文系数学 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 数と式、関数
- 解法
- 文字消去、微分による最大最小、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 18分
問題
実数 x,y,z が
x+y+z=1,x+2y+3z=5
を満たすとする。
(1) x3+y3+z3−3xyz の最小値を求めよ。
(2) z≧0 のとき、xyz が最大となる z の値を求めよ。
出典：大阪大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
解法1
2本の一次条件から x,y を z で表す。(1)は得られた二次式を平方完成し、(2)は xyz を z≧0 上の三次関数として増減と端の挙動を調べる。
解法2
(1)は3次式の恒等式で平方和へ変える。(2)は積が正になりうる区間を先に 2<z<3 に絞り、u=3−z によって閉区間 0≦u≦1 上の積 2u(1−u)(3−u) を最大化する。
解答
解法1
2つの条件の差をとると
y+2z=4.
したがって
y=4−2z,x=z−3
である。
(1)
x3+y3+z3−3xyz=(z−3)3+(4−2z)3+z3−3(z−3)(4−2z)z=9z2−33z+37=9(z−611)2+427.
z は任意の実数をとるので、最小値は
427
であり、z=11/6 のときに達成される。
(2)
F(z)=xyz=(z−3)(4−2z)z=−2z3+10z2−12z
とおくと
F′(z)=−2(3z2−10z+6).
停留点は
である。z≧0 で F は順に減少、増加、減少し、
F(0)=0,z→∞limF(z)=−∞.
また
なので、この点では x<0, y<0, z>0 となり F(z)>0 である。したがって最大となる z は
である。
解法2
条件から
x=z−3,y=4−2z
である。
(1)
恒等式
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z){x2+y2+z2−xy−yz−zx}
を用いる。x+y+z=1 なので
x3+y3+z3−3xyz=2(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2.
ここへ x=z−3, y=4−2z を代入すると
2(3z−7)2+(4−3z)2+32=9(z−611)2+427.
よって最小値は
427.
(2)
0≦z≦2 では x≦0, y≧0 だから xyz≦0。z≧3 では x≧0, y≦0 だから、やはり xyz≦0 である。一方、2<z<3 では x<0, y<0 なので xyz>0。したがって最大値は 2<z<3 で生じる。
u=3−z(0<u<1)
とおくと
x=−u,y=−2(1−u),z=3−u
であり
xyz=2u(1−u)(3−u).
G(u)=u(1−u)(3−u) とおけば
G′(u)=3u2−8u+3.
0<u<1 にある停留点は
だけであり、両端では積が0なのでここで最大となる。したがって
