大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$$ とおく。点 $M$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するので $$\overrightarrow{AM}={\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{u}$$ である。また点 $N$ は辺 $AC$ を $1:2$ に内分するので $$\overrightarrow{AN}={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{v}$$ である。

点 $P$ は線分 $BN$ 上にあるから，ある実数 $\lambda$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AP}}& {\displaystyle =\overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{BN}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\vec{u}+\lambda ({\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{v}-\vec{u})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-\lambda )\vec{u}+{\displaystyle \frac{\lambda }{3}}\vec{v}}\end{array}$$と表せる。

一方，点 $P$ は線分 $CM$ 上にもあるから，ある実数 $\mu$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AP}}& {\displaystyle =\overrightarrow{AC}+\mu \overrightarrow{CM}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\vec{v}+\mu ({\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{u}-\vec{v})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\mu }{3}}\vec{u}+(1-\mu )\vec{v}}\end{array}$$と表せる。 $\vec{u}$ と $\vec{v}$ は一次独立なので，係数を比較して $$1-\lambda ={\displaystyle \frac{2\mu }{3}},{\displaystyle \frac{\lambda }{3}}=1-\mu$$ を得る。第2式から $\lambda =3-3\mu$ であり，これを第1式に代入すると $$1-(3-3\mu )={\displaystyle \frac{2\mu }{3}}$$ すなわち $$-2+3\mu ={\displaystyle \frac{2\mu }{3}}$$ である。よって $$7\mu =6,\mu ={\displaystyle \frac{6}{7}},\lambda ={\displaystyle \frac{3}{7}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{AP}=(1-{\displaystyle \frac{3}{7}})\vec{u}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\vec{v}={\displaystyle \frac{4}{7}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{AC}$$である。

(2) $1$ より $$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{7}}(4\vec{u}+\vec{v})$$ である。ここで $$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=AB=c,\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=AC=b,\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}\mathrm{\mid }=BC=a$$ である。よって $$\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}$$ から $$a^2=b^2+c^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}$$ となり，$$\vec{u}\cdot \vec{v}={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{49}}\mathrm{\mid }4\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{49}}\{16\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+8\vec{u}\cdot \vec{v}+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{49}}\{16c^2+4(b^2+c^2-a^2)+b^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{20c^2+5b^2-4a^2}{49}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$AP={\displaystyle \frac{1}{7}}\sqrt{20c^2+5b^2-4a^2}$$ である。

内分点を重心座標で表し，2本の cevian（頂点と対辺上の点を結ぶ線）の交点を一度に求める。交点の重みが $A:B:C=2:4:1$ と分かれば，位置ベクトルは直ちに得られる。長さは解法1と同様に内積へ戻すが，交点を求める連立方程式を省けるのが利点である。

(1)
点 $M$ は $AM:MB=2:1$ を満たすので，$M$ の重心座標は$$M=(1:2:0)$$である。一方，$N$ は $AN:NC=1:2$ を満たすので$$N=(2:0:1)$$である。

直線 $CM$ 上の点の重心座標は$$(s:2s:t)$$と書け，直線 $BN$ 上の点は$$(2u:v:u)$$と書ける。交点 $P$ では両者が比例するから，成分比を比較して$$s:2s:t=2:4:1$$となる。したがって$$P=(2:4:1)\mathrm{.}$$よって，原点を $A$ にとれば$$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{2\overrightarrow{AA}+4\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2+4+1}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$$(2)$$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$$，$$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$$ とおくと$$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{7}}(4\vec{u}+\vec{v})\mathrm{.}$$また$$\vec{u}\cdot \vec{v}={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{49}}(4\vec{u}+\vec{v})\cdot (4\vec{u}+\vec{v})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{49}}(16c^2+8\cdot {\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2}}+b^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{20c^2+5b^2-4a^2}{49}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$AP={\displaystyle \frac{1}{7}}\sqrt{20c^2+5b^2-4a^2}\mathrm{.}$$