大阪大学 2022年度文系数学第1問解答・解説

問題

三角形 $A B C$ において，辺 $A B$ を $2 : 1$ に内分する点を $M$ ，辺 $A C$ を $1 : 2$ に内分する点を $N$ とする．また，線分 $B N$ と線分 $C M$ の交点を $P$ とする．

(1) $A P$ を， $A B$ と $A C$ を用いて表せ．

(2) 辺 $B C, C A, A B$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とするとき，線分 $A P$ の長さを， $a, b, c$ を用いて表せ．

出典：大阪大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

解法1

$1$ は $A B = u$ ， $A C = v$ とおき， $B N$ 上と $C M$ 上という2通りの表し方を係数比較する。 $M, N$ の内分比から $A M = \frac{2}{3} u$ ， $A N = \frac{1}{3} v$ を先に固定すると，交点条件は2元一次方程式になる。 $2$ は $A P = \frac{1}{7} (4 u + v)$ の長さの2乗を展開し， $∣ u ∣ = c$ ， $∣ v ∣ = b$ ， $∣ v - u ∣ = a$ から $u \cdot v$ を辺長で表す。

解法2（重心座標）

内分点を重心座標で表し，2本の cevian（頂点と対辺上の点を結ぶ線）の交点を一度に求める。交点の重みが $A : B : C = 2 : 4 : 1$ と分かれば，位置ベクトルは直ちに得られる。長さは解法1と同様に内積へ戻すが，交点を求める連立方程式を省けるのが利点である。

解答

解法1

(1)

$A B = u, A C = v$ とおく。点 $M$ は辺 $A B$ を $2 : 1$ に内分するので $A M = \frac{2}{3} u$ である。また点 $N$ は辺 $A C$ を $1 : 2$ に内分するので $A N = \frac{1}{3} v$ である。

点 $P$ は線分 $B N$ 上にあるから，ある実数 $λ$ を用いて

A P = A B + λ B N = u + λ (\frac{1}{3} v - u) = (1 - λ) u + \frac{λ}{3} v

と表せる。

一方，点 $P$ は線分 $C M$ 上にもあるから，ある実数 $μ$ を用いて

A P = A C + μ C M = v + μ (\frac{2}{3} u - v) = \frac{2 μ}{3} u + (1 - μ) v

と表せる。 $u$ と $v$ は一次独立なので，係数を比較して $1 - λ = \frac{2 μ}{3}, \frac{λ}{3} = 1 - μ$ を得る。第2式から $λ = 3 - 3 μ$ であり，これを第1式に代入すると $1 - (3 - 3 μ) = \frac{2 μ}{3}$ すなわち $- 2 + 3 μ = \frac{2 μ}{3}$ である。よって $7 μ = 6, μ = \frac{6}{7}, λ = \frac{3}{7}$ である。したがって

A P = (1 - \frac{3}{7}) u + \frac{1}{7} v = \frac{4}{7} A B + \frac{1}{7} A C

である。

(2)

$1$ より $A P = \frac{1}{7} (4 u + v)$ である。ここで $∣ u ∣ = A B = c, ∣ v ∣ = A C = b, ∣ v - u ∣ = B C = a$ である。よって $∣ v - u ∣^{2} = ∣ v ∣^{2} + ∣ u ∣^{2} - 2 u \cdot v$ から $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 u \cdot v$ となり， $u \cdot v = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}$ である。

したがって

A P^{2} = \frac{1}{49} ∣4 u + v ∣^{2} = \frac{1}{49} {16∣ u ∣^{2} + 8 u \cdot v + ∣ v ∣^{2}} = \frac{1}{49} {16 c^{2} + 4 (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2}} = \frac{20 c ^{2} + 5 b ^{2} - 4 a ^{2}}{49} .

よって $A P = \frac{1}{7} 20 c^{2} + 5 b^{2} - 4 a^{2}$ である。

解法2（重心座標）

(1)

点 $M$ は $A M : M B = 2 : 1$ を満たすので， $M$ の重心座標は

M = (1 : 2 : 0)

である。一方， $N$ は $A N : N C = 1 : 2$ を満たすので

N = (2 : 0 : 1)

である。

直線 $C M$ 上の点の重心座標は

(s : 2 s : t)

と書け，直線 $B N$ 上の点は

(2 u : v : u)

と書ける。交点 $P$ では両者が比例するから，成分比を比較して

s : 2 s : t = 2 : 4 : 1

となる。したがって

P = (2 : 4 : 1) .

よって，原点を $A$ にとれば

A P = \frac{2 AA + 4 A B + A C}{2 + 4 + 1} = \frac{4}{7} A B + \frac{1}{7} A C .

(2)

$u = A B$ ， $v = A C$ とおくと

A P = \frac{1}{7} (4 u + v) .

また

u \cdot v = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2}

であるから

A P^{2} = \frac{1}{49} (4 u + v) \cdot (4 u + v) = \frac{1}{49} (16 c^{2} + 8 \cdot \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2} + b^{2}) = \frac{20 c ^{2} + 5 b ^{2} - 4 a ^{2}}{49} .

したがって

A P = \frac{1}{7} 20 c^{2} + 5 b^{2} - 4 a^{2} .

大阪大学 2022年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（重心座標）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（重心座標）

(1)

(2)

大阪大学 2022年度
文系数学第1問