大阪大学 2022年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とし，1個のさいころを $n$ 回投げて出る目の数を順に $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ とする． $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ の最小公倍数を $L_{n}$ ，最大公約数を $G_{n}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) $L_{2} = 5$ となる確率および $G_{2} = 5$ となる確率を求めよ．

(2) $L_{n}$ が素数でない確率を求めよ．

(3) $G_{n}$ が素数でない確率を求めよ．

出典：大阪大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1

$1$ は2回の出目を直接列挙する。 $2$ は $L_{n}$ が素数 $p$ になる条件を，すべての出目が $1$ または $p$ で，少なくとも1回は $p$ が出ることと読む。出目に現れる素数は $2, 3, 5$ だけなので，3種類を排反に数えて余事象を取る。 $3$ は $G_{n}$ が素数 $p$ になる条件を $p = 2, 3, 5$ で分ける。 $G_{n} = 2$ では全て偶数から，全て $4$ ，全て $6$ の場合を除くなど，最大公約数がその素数より大きくなる場合を落とす。

解法2（倍数集合の包含関係）

最小公倍数については， $L_{n} = p$ を「全てが ${1, p}$ に属し，少なくとも1回 $p$ 」と集合で数える。最大公約数については， $d$ の倍数だけが出る列の個数を $N (d)$ とおき，より大きい最大公約数をもつ列を包含関係に沿って引く。個々の列挙をせず，約数の階層で整理する方法である。

解答

解法1

(1)

$L_{2} = 5$ となるには，2つの出目の最小公倍数が5でなければならない。出目は $1$ から $6$ までなので，可能なのは $(X_{1}, X_{2}) = (1, 5), (5, 1), (5, 5)$ の3通りである。全体は $6^{2} = 36$ 通りだから，確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ である。 $G_{2} = 5$ となるには，2つの出目がともに5の倍数でなければならない。出目の範囲では5の倍数は5だけなので $(X_{1}, X_{2}) = (5, 5)$ の1通りである。よって確率は $\frac{1}{36}$ である。

(2)

$L_{n}$ が素数である場合を数える。 $L_{n} = p$ が素数であるためには，すべての出目が $p$ の約数でなければならない。出目の中で使える約数は $1$ と $p$ だけである。さらに，少なくとも1回は $p$ が出なければ，最小公倍数は1になってしまう。

出目に現れる可能性のある素数は $p = 2, 3, 5$ である。各 $p$ について，各回の出目は $1$ または $p$ の2通りであり，すべて $1$ の1通りを除くので $2^{n} - 1$ 通りである。 $p = 2, 3, 5$ の場合は，最小公倍数が異なるので互いに重ならない。

したがって $L_{n}$ が素数である出方は $3 (2^{n} - 1)$ 通りである。全体は $6^{n}$ 通りだから， $L_{n}$ が素数でない確率は $1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}}$ である。

(3)

$G_{n}$ が素数である場合を数える。可能な素数はやはり $2, 3, 5$ である。

まず $G_{n} = 2$ となる場合を考える。すべての出目が2の倍数でなければならないので，各回の出目は $2, 4, 6$ のいずれかである。この出方は $3^{n}$ 通りある。ただし，すべての出目が $4$ のとき最大公約数は4であり，すべての出目が $6$ のとき最大公約数は6である。これら2通りだけを除けば最大公約数はちょうど2である。よって $G_{n} = 2 となる出方は 3^{n} - 2 通り$ である。

次に $G_{n} = 3$ となる場合は，すべての出目が3の倍数，すなわち $3, 6$ のいずれかであり，かつすべてが $6$ ではない場合である。したがって $2^{n} - 1$ 通りである。

最後に $G_{n} = 5$ となるには，すべての出目が5の倍数でなければならない。出目の範囲では5だけなので，すべての出目が5である1通りである。

これらは $G_{n}$ の値が異なるため互いに排反である。よって $G_{n}$ が素数である出方は $(3^{n} - 2) + (2^{n} - 1) + 1 = 3^{n} + 2^{n} - 2$ 通りである。したがって $G_{n}$ が素数でない確率は $1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}}$ である。

解法2（倍数集合の包含関係）

(1)

$L_{2} = 5$ となる列は

(1, 5), (5, 1), (5, 5)

の3通りである。一方， $G_{2} = 5$ となる列は $(5, 5)$ の1通りだけである。よって

P (L_{2} = 5) = \frac{1}{12}, P (G_{2} = 5) = \frac{1}{36} .

(2)

素数 $p \in {2, 3, 5}$ に対し， $L_{n} = p$ となる列全体を $A_{p}$ とする。各項は $1, p$ のいずれかであり，全てが1の列だけを除くから

∣ A_{p} ∣ = 2^{n} - 1.

3集合 $A_{2}, A_{3}, A_{5}$ は排反なので

# {L_{n} が素数} = 3 (2^{n} - 1) .

したがって

P (L_{n} が素数でない) = 1 - \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{6 ^{n}} .

(3)

全ての出目が $d$ の倍数である列の個数を $N (d)$ とする。出目が1から6なので

N (2) = 3^{n}, N (3) = 2^{n}, N (4) = N (5) = N (6) = 1.

偶数の出目は $2, 4, 6$ だけである。最大公約数が2より大きい偶数になるのは，全て4または全て6の場合だけだから

# {G_{n} = 2} = N (2) - N (4) - N (6) = 3^{n} - 2.

同様に，3の倍数は $3, 6$ であり，全て6の場合を除けばよいので

# {G_{n} = 3} = N (3) - N (6) = 2^{n} - 1.

また

# {G_{n} = 5} = N (5) = 1.

したがって

# {G_{n} が素数} = (3^{n} - 2) + (2^{n} - 1) + 1 = 3^{n} + 2^{n} - 2.

ゆえに

P (G_{n} が素数でない) = 1 - \frac{3 ^{n} + 2 ^{n} - 2}{6 ^{n}} .

大阪大学 2022年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（倍数集合の包含関係）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2（倍数集合の包含関係）

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2022年度
文系数学第2問