大阪大学 2022年度文系数学第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1) 実数 $α, β$ に対し，

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( α - β ) ^{3}}{6}

が成り立つことを示せ．

(2) $a, b$ を $b > a^{2}$ を満たす定数とし，座標平面上に点 $A (a, b)$ をとる．さらに，点 $A$ を通り，傾きが $k$ の直線を $l$ とし，直線 $l$ と放物線 $y = x^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (k)$ とする． $k$ が実数全体を動くとき， $S (k)$ の最小値を求めよ．

出典：大阪大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

$1$ は $x = α + u$ と置き，積分区間と被積分関数を $u$ で書き直して直接計算する。 $2$ では，点 $A (a, b)$ を通る傾き $k$ の直線と放物線の交点の $x$ 座標を $α, β$ とする。 $b > a^{2}$ により判別式が常に正で，直線は交点間で放物線より上にある。面積は $1$ の公式により $(β - α)^{3} /6$ となり，根の差 $β - α$ は判別式の平方根である。よって判別式を最小にする $k = 2 a$ を選べばよい。

解法2（頂点を中心に対称化）

$u = x - a$ ， $m = k - 2 a$ ， $c = b - a^{2} > 0$ とおき，直線と放物線の縦の差を $c + m u - u^{2}$ にする。平方完成すると，囲まれる部分は頂点を中心とする左右対称な放物線弓形になる。面積は対称区間の積分で直接求まり， $m = 0$ ，すなわち $k = 2 a$ で最小になる。

解答

解法1

(1)

$x = α + u$ とおく。すると， $x = α$ のとき $u = 0$ ， $x = β$ のとき $u = β - α$ である。また $x - α = u, x - β = u - (β - α)$ である。したがって

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{β - α} u {u - (β - α)} d u = [\frac{u ^{3}}{3} - \frac{β - α}{2} u^{2}]_{0}^{β - α} = \frac{( β - α ) ^{3}}{3} - \frac{( β - α ) ^{3}}{2} = - \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( α - β ) ^{3}}{6} .

よって示された。

(2)

点 $A (a, b)$ を通り傾きが $k$ の直線 $l$ は $y = k (x - a) + b$ である。放物線 $y = x^{2}$ との交点の $x$ 座標は $x^{2} = k (x - a) + b$ すなわち $x^{2} - k x + k a - b = 0$ の解である。この2解を $α < β$ とする。

判別式を $D$ とすると $D = k^{2} - 4 (k a - b) = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})$ である。仮定 $b > a^{2}$ より $D > 0$ なので，直線は放物線と異なる2点で交わる。

交点の間では，二次式 $k (x - a) + b - x^{2}$ は上に凸であり， $x = α, β$ で0になるから正である。したがって囲まれた部分の面積は

S (k) = \int_{α}^{β} {k (x - a) + b - x^{2}} d x .

ここで $x^{2} - k x + k a - b = (x - α) (x - β)$ であるから $k (x - a) + b - x^{2} = - (x - α) (x - β)$ である。よって $1$ より

S (k) = - \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{6}

である。

二次方程式の根の差は $β - α = D$ だから $S (k) = \frac{D ^{3/2}}{6}$ である。 $D = (k - 2 a)^{2} + 4 (b - a^{2})$ は $k = 2 a$ のとき最小になり，その最小値は $4 (b - a^{2})$ である。したがって $S (k)$ の最小値は

\frac{{ 4 ( b - a ^{2} ) } ^{3/2}}{6} = \frac{8 ( b - a ^{2} ) ^{3/2}}{6} = \frac{4}{3} (b - a^{2})^{3/2}

である。

解法2（頂点を中心に対称化）

(1)

$d = β - α$ ， $u = x - α$ とおくと

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{0}^{d} u (u - d) d u = [\frac{u ^{3}}{3} - \frac{d u ^{2}}{2}]_{0}^{d} = - \frac{d ^{3}}{6} = \frac{( α - β ) ^{3}}{6} .

(2)

$u = x - a$ ， $c = b - a^{2} > 0$ ， $m = k - 2 a$ とおく。直線 $l$ と放物線の縦の差は

k (x - a) + b - x^{2} = k u + b - (a + u)^{2} = c + m u - u^{2} = c + \frac{m ^{2}}{4} - (u - \frac{m}{2})^{2} .

ここで $R = c + \frac{m ^{2}}{4}$ とおけば，2交点は $u = m /2 \pm R$ に対応する。さらに $v = u - \frac{m}{2}$ と平行移動すると，面積は

S (k) = \int_{- R}^{R} (R^{2} - v^{2}) d v = 2 \int_{0}^{R} (R^{2} - v^{2}) d v = 2 [R^{2} v - \frac{v ^{3}}{3}]_{0}^{R} = \frac{4}{3} R^{3} .

したがって

S (k) = \frac{4}{3} (c + \frac{m ^{2}}{4})^{3/2} .

これは $m = 0$ ，すなわち $k = 2 a$ のとき最小となる。 $c = b - a^{2}$ より

min S (k) = \frac{4}{3} (b - a^{2})^{3/2} .

大阪大学 2022年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（頂点を中心に対称化）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（頂点を中心に対称化）

(1)

(2)

大阪大学 2022年度
文系数学第3問