大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $x=\alpha +u$ とおく。すると，$x=\alpha$ のとき $u=0$，$x=\beta$ のとき $u=\beta -\alpha$ である。また $$x-\alpha =u,x-\beta =u-(\beta -\alpha )$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta -\alpha }u\{u-(\beta -\alpha )\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}{u}^2]}_0^{\beta -\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\alpha -\beta {)}^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって示された。

(2)
点 $A(a,b)$ を通り傾きが $k$ の直線 $l$ は $y=k(x-a)+b$ である。放物線 $y=x^2$ との交点の $x$ 座標は $x^2=k(x-a)+b$ すなわち $x^2-kx+ka-b=0$ の解である。この2解を $\alpha <\beta$ とする。

判別式を $D$ とすると $$D=k^2-4(ka-b)=(k-2a{)}^2+4(b-a^2)$$ である。仮定 $b>a^2$ より $D>0$ なので，直線は放物線と異なる2点で交わる。

交点の間では，二次式 $k(x-a)+b-x^2$ は上に凸であり，$x=\alpha ,\beta$ で0になるから正である。したがって囲まれた部分の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k)}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }\{k(x-a)+b-x^2\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$x^2-kx+ka-b=(x-\alpha )(x-\beta )$$ であるから $$k(x-a)+b-x^2=-(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。よって $1$ より$$S(k)=-{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}$$である。

二次方程式の根の差は $$\beta -\alpha =\sqrt{D}$$ だから $$S(k)={\displaystyle \frac{D^{3\mathrm{/}2}}{6}}$$ である。$D=(k-2a{)}^2+4(b-a^2)$ は $k=2a$ のとき最小になり，その最小値は $4(b-a^2)$ である。したがって $S(k)$ の最小値は$${\displaystyle \frac{\{4(b-a^2){\}}^{3\mathrm{/}2}}{6}}={\displaystyle \frac{8(b-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}(b-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$である。

$u=x-a$，$m=k-2a$，$c=b-a^2>0$ とおき，直線と放物線の縦の差を $c+mu-u^2$ にする。平方完成すると，囲まれる部分は頂点を中心とする左右対称な放物線弓形になる。面積は対称区間の積分で直接求まり，$m=0$，すなわち $k=2a$ で最小になる。

(1)
$d=\beta -\alpha$，$u=x-\alpha$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{d}u(u-d)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{d{u}^2}{2}}]}_0^d=-{\displaystyle \frac{d^3}{6}}={\displaystyle \frac{(\alpha -\beta {)}^3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$u=x-a$，$c=b-a^2>0$，$m=k-2a$ とおく。直線 $l$ と放物線の縦の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle k(x-a)+b-x^2}& {\displaystyle =ku+b-(a+u{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c+mu-u^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =c+{\displaystyle \frac{m^2}{4}}-{(u-{\displaystyle \frac{m}{2}})}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$R=\sqrt{c+{\displaystyle \frac{m^2}{4}}}$$ とおけば，2交点は $u=m\mathrm{/}2\pm R$ に対応する。さらに $$v=u-{\displaystyle \frac{m}{2}}$$ と平行移動すると，面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(k)}& {\displaystyle ={\int }_{-R}^R(R^2-v^2)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^R(R^2-v^2)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[R^{2}v-{\displaystyle \frac{v^3}{3}}]}_0^R}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{R}^3\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(k)={\displaystyle \frac{4}{3}}{(c+{\displaystyle \frac{m^2}{4}})}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$これは $m=0$，すなわち $k=2a$ のとき最小となる。$c=b-a^2$ より$$\min S(k)={\displaystyle \frac{4}{3}}(b-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$