問題
曲線を，直線をとする．ただし，はを満たす実数とする．
(1) 曲線と直線の共有点の座標をすべて求めよ．
(2) 曲線と直線で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるの値を求めよ．
方針
解法1
絶対値は と で外す。 から交点の順序は となるので，左の領域では曲線が直線の上，右の領域では直線が曲線の上にくる。面積は右側だけ で式が変わるため二つに分け，最後に を へ整理する。
解法2（共通部分を加える別解）
(1)は解法1と同じ。2領域を直接別々に積分せず、両方に同じ補助領域を加える。左領域に補助領域を加えるとでの上側曲線の面積、右領域に同じ補助領域を加えるとでの直線と外側放物線の差から前者を引いた面積になるため、等積条件が短く整理できる。
解答
解法1
(1)
では であるから，直線 との交点は すなわち より である。 なので であり，どちらもこの場合に入る。 では であるから， すなわち より である。 だから第2の解もこの場合に入る。よって共有点は である。
(2)
交点の 座標は の順で並ぶ。左側の領域では が より上にあるから，その面積を とすると である。ここで とおくと，積分区間は で， だから となる。
右側の領域では直線が曲線より上にある。ただし を境に の式が変わるので，面積を とすると
である。第1の積分で とおくと である。また第2の積分で とおくと である。したがって である。
二つの部分の面積が等しい条件は である。これを整理すると すなわち より である。よって となる。 を満たす解は であり，これは実際に を満たす。
{ 図はの例。交点の順序と，2領域で上下が入れ替わることを示す。}
解法2（共通部分を加える別解）
(1)
共有点は解法1と同様に求められ，
である。
(2)
左側の領域を，右側の領域をとする。また，で曲線，直線，軸に挟まれる部分のうち，と重ならない補助領域をとする。すると
である。
一方，は，からまでの直線と外側の放物線の差の積分からを除いたものになる。因数分解を用いると
である。よってはと同値であり，
を得る。したがってであるから
である。これはを満たす。