大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 1$ では $y=1-x^2$ であるから，直線 $l$ との交点は $1-x^2=2a(x+1)$ すなわち $(x+1)(x-1+2a)=0$ より $x=-1,x=1-2a$ である。$0<a<1$ なので $-1<1-2a<1$ であり，どちらもこの場合に入る。 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 1$ では $y=x^2-1$ であるから，$x^2-1=2a(x+1)$ すなわち $(x+1)(x-1-2a)=0$ より $x=-1,x=1+2a$ である。$1+2a>1$ だから第2の解もこの場合に入る。よって共有点は $(-1,0),(1-2a,4a(1-a)),(1+2a,4a(1+a))$ である。

(2)
交点の $x$ 座標は $-1<1-2a<1<1+2a$ の順で並ぶ。左側の領域では $C$ が $l$ より上にあるから，その面積を $A_1$ とすると $$A_1={\int }_{-1}^{1-2a}\{1-x^2-2a(x+1)\}dx$$ である。ここで $u=x+1$ とおくと，積分区間は $0\leqq u\leqq 2(1-a)$ で，$$1-x^2-2a(x+1)=2(1-a)u-u^2$$ だから $$A_1={\int }_0^{2(1-a)}\{2(1-a)u-u^2\}du=\frac{4(1-a{)}^3}{3}$$ となる。

右側の領域では直線が曲線より上にある。ただし $x=1$ を境に $C$ の式が変わるので，面積を $A_2$ とすると$$A_2={\int }_{1-2a}^1\{2a(x+1)-(1-x^2)\}dx+{\int }_1^{1+2a}\{2a(x+1)-(x^2-1)\}dx$$である。第1の積分で $u=x+1$ とおくと $${\int }_{2(1-a)}^2\{u^2-2(1-a)u\}du=4a-\frac{4}{3}+\frac{4(1-a{)}^3}{3}$$ である。また第2の積分で $v=x-1$ とおくと $${\int }_0^{2a}\{-v^2+2(a-1)v+4a\}dv=4a^2+\frac{4a^3}{3}$$ である。したがって $A_2=8a^2$ である。

二つの部分の面積が等しい条件は $$\frac{4(1-a{)}^3}{3}=8a^2$$ である。これを整理すると $(1-a{)}^3=6a^2$ すなわち $1-3a+3a^2-a^3=6a^2$ より $a^3+3a^2+3a-1=0$ である。よって $(1+a{)}^3=2$ となる。$0<a<1$ を満たす解は $$a=\sqrt[3]{2}-1$$ であり，これは実際に $0<a<1$ を満たす。

図は$a=0.4$の例。交点の順序と，2領域で上下が入れ替わることを示す。

(1) は解法1と同じ。2領域を直接別々に積分せず、両方に同じ補助領域を加える。左領域に補助領域を加えると$[-1,1]$での上側曲線の面積、右領域に同じ補助領域を加えると$[-1,1+2a]$での直線と外側放物線の差から前者を引いた面積になるため、等積条件が短く整理できる。

(1)
共有点は解法1と同様に求められ，$$(-1,0),(1-2a,4a(1-a)),(1+2a,4a(1+a))$$である。

(2)
左側の領域を$S_1$，右側の領域を$S_2$とする。また，$-1\leqq x\leqq 1$で曲線$C$，直線$l$，$x$軸に挟まれる部分のうち，$S_1$と重ならない補助領域を$S_3$とする。すると$$S_1+S_3={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$$である。

一方，$S_2+S_3$は，$x=-1$から$x=1+2a$までの直線と外側の放物線$y=x^2-1$の差の積分から$S_1+S_3$を除いたものになる。因数分解を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2+S_3}& {\displaystyle =-{\int }_{-1}^{1+2a}(x+1)(x-1-2a)dx-\frac{4}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}(1+a{)}^3-\frac{4}{3}}\end{array}$$である。よって$S_1=S_2$は$S_1+S_3=S_2+S_3$と同値であり，$$\frac{4}{3}=\frac{4}{3}(1+a{)}^3-\frac{4}{3}$$を得る。したがって$(1+a{)}^3=2$であるから$$a=\sqrt[3]{2}-1$$である。これは$0<a<1$を満たす。