阪大 2024年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

(1) は素数を順に列挙し，15番目までを確実に確認する。(2) は $3$ より大きい素数が $6$ で割って $1$ または $5$ 余ることを使う。 $3 n$ 以下に現れる候補数を $n$ の偶奇で数えると高々 $n + 1$ 個であり， $n ≧ 12$ では候補に含まれる合成数 $25, 35$ を必ず除けるため，素数は高々 $n - 1$ 個になる。

解答

(1)
素数を小さい順に並べると $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ である。したがって $p_{15} = 47$ である。

(2) $3$ より大きい素数は偶数でなく， $3$ の倍数でもない。したがって， $6$ で割った余りは $1$ または $5$ である。

まず， $3 n$ 以下の素数の候補を数える。ただし $1$ は素数でないので候補から外す。 $n = 2 m$ のとき， $3 n = 6 m$ である。 $6 k + 1$ 型の数は $7, 13, \dots, 6 m - 5$ の $m - 1$ 個， $6 k + 5$ 型の数は $5, 11, \dots, 6 m - 1$ の $m$ 個である。これに $2, 3$ を加えると，候補は高々 $(m - 1) + m + 2 = 2 m + 1 = n + 1$ 個である。

次に， $n = 2 m + 1$ のとき， $3 n = 6 m + 3$ である。 $6 k + 1$ 型の数は $7, 13, \dots, 6 m + 1$ の $m$ 個， $6 k + 5$ 型の数は $5, 11, \dots, 6 m - 1$ の $m$ 個である。これに $2, 3$ を加えると，候補は高々 $m + m + 2 = 2 m + 2 = n + 1$ 個である。

よって，どちらの場合も $3 n$ 以下の素数候補は高々 $n + 1$ 個である。さらに $n ≧ 12$ なら $25 ≦ 3 n, 35 ≦ 3 n$ であり， $25$ と $35$ はともに $6$ で割って $1$ または $5$ 余るが，素数ではない。したがって $3 n$ 以下の素数は高々 $(n + 1) - 2 = n - 1$ 個である。

つまり，第 $n$ 番目の素数は $3 n$ 以下には現れない。よって $p_{n} > 3 n$ である。

別解

解法2（数学的帰納法）

方針

$p_{12} = 37 > 36$ を出発点にする。 $3$ 以上の素数は奇数なので隣り合う素数の差は少なくとも2であり、帰納法の仮定 $p_{k} > 3 k$ から $p_{k + 1} ≧ 3 (k + 1)$ を得る。等号の場合は $3$ の倍数になって素数でないため、狭義不等号まで進められる。

解答

(1)
素数を順に並べると15番目は $47$ であるから， $p_{15} = 47$ である。

(2)
数学的帰納法で示す。 $n = 12$ のとき， $p_{12} = 37 > 36 = 3 \cdot 12$ である。

$k ≧ 12$ で $p_{k} > 3 k$ が成り立つと仮定する。 $p_{k}$ と $p_{k + 1}$ はいずれも3より大きい奇素数なので $p_{k + 1} ≧ p_{k} + 2$ である。また $p_{k}$ は整数だから，仮定から $p_{k} ≧ 3 k + 1$ である。よって $p_{k + 1} ≧ 3 k + 3 = 3 (k + 1)$ となる。ここで等号 $p_{k + 1} = 3 (k + 1)$ が成り立つなら， $p_{k + 1}$ は3より大きい3の倍数となり，素数であることに反する。したがって $p_{k + 1} > 3 (k + 1)$ である。以上より，すべての $n ≧ 12$ で $p_{n} > 3 n$ が成り立つ。

総評

素数そのものを評価するのではなく，素数になり得る余りの候補を数える問題。目安時間は14分。 $6 k \pm 1$ の候補数を数える際に $1$ を除くこと， $n$ の偶奇で端点を確認すること，そして $25, 35$ を合成数として確実に差し引くことが採点点になる。候補が高々 $n - 1$ 個と分かれば， $p_{n}$ が $3 n$ 以下にないという結論へ自然につながる。

公式出題意図との対応：素数の性質を題材に、整数の基本事項から不等式を論証する問題。解答では，この観点に対応する条件設定，途中式，必要十分性または検算を明示した。

出典確認：大阪大学公式の令和6年度ページ保存版で問題PDFの識別子と科目対応を確認した。問題本文は同年度の紙面PDF第3ページと原寸照合し，公式「出題の意図」も確認した。公式資料は数値解答ではなく出題意図のみである。

独立検算： $p_{15} = 47$ を列挙確認し、5000未満の全素数について $n ≧ 12$ なら $p_{n} > 3 n$ となることを全件検査した。

出典: 大阪大学令和6年度一般選抜数学A（文系数学）公式問題・出題の意図（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

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解答

別解

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総評

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