大阪大学 2024年度文系数学第3問解答・解説

問題

素数を小さい順に並べて得られる数列を

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}, \dots

とする．

(1) $p_{15}$ の値を求めよ．

(2) $n ≧ 12$ のとき，不等式 $p_{n} > 3 n$ が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 2024年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

解法1

(1) は素数を順に列挙し，15番目までを確実に確認する。(2) は $3$ より大きい素数が $6$ で割って $1$ または $5$ 余ることを使う。 $3 n$ 以下に現れる候補数を $n$ の偶奇で数えると高々 $n + 1$ 個であり， $n ≧ 12$ では候補に含まれる合成数 $25, 35$ を必ず除けるため，素数は高々 $n - 1$ 個になる。

解法2（数学的帰納法）

$p_{12} = 37 > 36$ を出発点にする。 $3$ 以上の素数は奇数なので隣り合う素数の差は少なくとも2であり、帰納法の仮定 $p_{k} > 3 k$ から $p_{k + 1} ≧ 3 (k + 1)$ を得る。等号の場合は $3$ の倍数になって素数でないため、狭義不等号まで進められる。

解答

解法1

(1)

素数を小さい順に並べると $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ である。したがって $p_{15} = 47$ である。

(2)

$3$ より大きい素数は偶数でなく， $3$ の倍数でもない。したがって， $6$ で割った余りは $1$ または $5$ である。

まず， $3 n$ 以下の素数の候補を数える。ただし $1$ は素数でないので候補から外す。 $n = 2 m$ のとき， $3 n = 6 m$ である。 $6 k + 1$ 型の数は $7, 13, \dots, 6 m - 5$ の $m - 1$ 個， $6 k + 5$ 型の数は $5, 11, \dots, 6 m - 1$ の $m$ 個である。これに $2, 3$ を加えると，候補は高々 $(m - 1) + m + 2 = 2 m + 1 = n + 1$ 個である。

次に， $n = 2 m + 1$ のとき， $3 n = 6 m + 3$ である。 $6 k + 1$ 型の数は $7, 13, \dots, 6 m + 1$ の $m$ 個， $6 k + 5$ 型の数は $5, 11, \dots, 6 m - 1$ の $m$ 個である。これに $2, 3$ を加えると，候補は高々 $m + m + 2 = 2 m + 2 = n + 1$ 個である。

よって，どちらの場合も $3 n$ 以下の素数候補は高々 $n + 1$ 個である。さらに $n ≧ 12$ なら $25 ≦ 3 n, 35 ≦ 3 n$ であり， $25$ と $35$ はともに $6$ で割って $1$ または $5$ 余るが，素数ではない。したがって $3 n$ 以下の素数は高々 $(n + 1) - 2 = n - 1$ 個である。

つまり，第 $n$ 番目の素数は $3 n$ 以下には現れない。よって $p_{n} > 3 n$ である。

解法2（数学的帰納法）

(1)

素数を順に並べると15番目は $47$ であるから， $p_{15} = 47$ である。

(2)

数学的帰納法で示す。 $n = 12$ のとき， $p_{12} = 37 > 36 = 3 \cdot 12$ である。

$k ≧ 12$ で $p_{k} > 3 k$ が成り立つと仮定する。 $p_{k}$ と $p_{k + 1}$ はいずれも3より大きい奇素数なので

p_{k + 1} ≧ p_{k} + 2

である。また $p_{k}$ は整数だから，仮定から $p_{k} ≧ 3 k + 1$ である。よって

p_{k + 1} ≧ 3 k + 3 = 3 (k + 1)

となる。ここで等号 $p_{k + 1} = 3 (k + 1)$ が成り立つなら， $p_{k + 1}$ は3より大きい3の倍数となり，素数であることに反する。したがって

p_{k + 1} > 3 (k + 1)

である。以上より，すべての $n ≧ 12$ で $p_{n} > 3 n$ が成り立つ。

大阪大学 2024年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（数学的帰納法）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（数学的帰納法）

(1)

(2)

大阪大学 2024年度
文系数学第3問