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上智大学 2016年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第1問

(1) 1から777までの整数で，4の倍数であるが
5の倍数でも6の倍数でもない数の個数と，それらの総和の下2桁を求めよ。

(2) a を定数としf(x)=9x+1/2−3x+3/2+3a−1とする。方程式 f(x)=0 が異なる2つの実数解をもつような
a の範囲を求めよ。

(3) 2曲線C1:y=∣x−1∣(x+3),C2:y=∣x+1∣(−x+3)で囲まれた図形の面積を求めよ。

難易度5/ 10計算量7/ 10目安26分

整数、方程式・不等式、指数・対数、積分　包除原理、置換、判別式、面積計算

方針

(1) 4の倍数全体から20の倍数と12の倍数を除き，60の倍数を戻す。個数と等差数列の和を同じ包除で計算する。(2) t=3x>0 と置き，2次方程式が異なる2正根をもつ条件にする。(3) 絶対値を区間ごとに外し，対称性を使って積分する。

解答

(1) 個数は包除原理から⌊7774⌋−⌊77720⌋−⌊77712⌋+⌊77760⌋=194−38−64+12=104.総和は∑k=11944k−∑k=13820k−∑k=16412k+∑k=11260k=40560だから，下2桁は60。

(2) t=3x>0 とおくとf(x)=3t2−33t+3a−1.軸は正なので，異なる2正根をもつ条件は定数項が正かつ判別式が
正であること，すなわち 3a−1>0, 39−36a>0 である。
よって 1/3<a<13/12。

(3) 交点と絶対値の切替点を調べると，図形は y 軸対称で，
右半分では 0≦x≦1 と 1≦x≦3 に分かれる。
したがって面積は2∫014x dx+2∫13(−2x2+6) dx=−203+83.

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出典: 上智大学 2016年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。