上智大学 2014年度 学部学科試験経済学科数学 第3問

1から10までを1枚ずつ書いた10枚のカードを左から順に並べる。
この中から3枚を無作為に選び，どのカードも元の位置とは異なる位置へ置く。
2回目以降は最初の並びへ戻さず，直前の並びから同じ操作を繰り返す。
各操作では，選ばれた3枚を元の位置と異なる位置へ置く2通りを等確率とする。
$n$ 回の操作後，一番左のカードが10である確率を $P_n$ とする。

(1) $P_1$ を求めよ。

(2) $n$ 回後に一番左が10であり，次の操作後も一番左が10となる確率を
$P_n$ を用いて表せ。

(3) $n$ 回後に一番左が10でなく，次の操作後に一番左が10となる確率を
$P_n$ を用いて表せ。

(4) $P_{n+1}$ を $P_n$ で表せ。

(5) $P_n$ を求めよ。