上智大学 2012年度学部学科試験経済学科数学第3問

3行3列のマスに上から順に1〜9と番号をつける。
Aは上段から出発して1段ずつ下へ，Bは下段から1段ずつ上へ2回動く。
出発点は各3マスから一様に選び，次の段では同じ列または隣の列の
行けるマスから一様に選ぶ。AとBの移動は独立である。

(1) Aの経路数，最小確率の経路数とその確率を求めよ。
(2) AとBがともに奇数番号のマスだけを通る確率を求めよ。
(3) AとBが中段で同じマスを通る確率を求めよ。

(4) $(2 n + 1)$ 行 $(2 n + 1)$ 列の場合，同じ規則で移動する。
AとBの通過マスを合わせると2本の対角線上の全マスになる確率を
$1 / (p^{2} 3^{q})$ と表す。 $p, q$ を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安26分

方針

各出発点から中段・下段への分岐数を掛けて経路を数える。
特定マスを通る確率は経路ごとの確率を足し，AとBの独立性を使う。
一般の場合は両端から対角線に沿う2種類の配置を対称性で数える。

(1) 経路数は $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 17$ 。
最小確率は中央列から中央マスを経る3経路で，各 $1 / 27$ 。

(2) Aが奇数マスだけを通る確率は $2 / 9$ 。
Bも同じで独立だから $(2 / 9)^{2} = 4 / 81$ 。

(3) 中段の4，5，6で一致する確率をそれぞれ足すと $25 / 324 + 16 / 81 + 25 / 324 = 19 / 54$ 。

(4) 両端の選び方と各途中段で対角方向を選び続ける確率を数えると $\frac{1}{(2 n + 1)^{2} 3^{4 n - 2}} .$ したがって $p = 2 n + 1, q = 4 n - 2$ 。

出典: 上智大学 2012年度経済学科数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。