上智大学 2014年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1) \$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}(3x^2-6x-9)=\frac{3}{4}(x-3)(x+1)$$である．よって臨界点は$x=-1,3$である．

$x<-1$では$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$，$-1<x<3$では$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$，$x>3$では$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$であるから，$x=-1$で極大，$x=3$で極小である．

値は$$f(-1)=\frac{1}{4}(-1-3+9+3)=\frac{8}{4}=2$$$$f(3)=\frac{1}{4}(27-27-27+3)=\frac{-24}{4}=-6$$である．

したがって，極大値は$2$，極小値は$-6$である．

(2) \ $y$軸との交点は$x=0$のときで，
$f(0)=\frac{3}{4}$
である．また$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{3}{4}(0-3)(0+1)=-\frac{9}{4}$$だから，接線は
$y-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}(x-0)$
すなわち
$y=-\frac{9}{4}x+\frac{3}{4}$
である．

(3) \ まず$f(x)=0$の位置を考える．$f(-3)<0$，$f(-2)>0$より，負から正に変わる根が$-3$と$-2$の間にある．また$f(0)>0$，$f(1)<0$，$f(4)<0$，$f(5)>0$より，正から負，負から正に変わる根がそれぞれ$(0,1)$と$(4,5)$の間にある．したがって$$A=(\alpha ,\beta )\cup (\gamma ,\mathrm{\infty })$$の形で，$\alpha \in (-3,-2)$，$\beta \in (0,1)$，$\gamma \in (4,5)$である．

(i) $$A\subset B=\{x\mid x\ge b\}$$となるには，$A$のすべての要素が$b$以上であればよい．$A$には$-2$より少し小さい数が含まれるので，最大の整数$b$は
$-3$
である．

(ii) $B\subset A$となるには，$x\ge b$のすべてで$f(x)>0$でなければならない．$f(x)>0$が成り立つのは最後の根$\gamma$より右側だけなので，$b$は$\gamma$以上である必要がある．$\gamma \in (4,5)$より最小の整数は
$5$
である．

(iii) $b\in A$である整数は，$f(b)>0$を満たす整数である．整数で$f(b)>0$かつ$b<5$を満たすものは
$-2,-1,0$
の3個である．

よって答えは3個である。