上智大学 2016年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1) $$f(t)=\sqrt{1+\cos t}$$より$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{-\sin t}{2\sqrt{1+\cos t}}$$である．
ここで $0\le t\le \pi$ では$$1+\cos t=2{\cos }^2\frac{t}{2}$$かつ $\cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\ge 0$ なので$$\sqrt{1+\cos t}=\sqrt{2}\cos \frac{t}{2}$$である．したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{t}{2}$$でもある．

(2) (i)$$x=2\cos t+\cos 2t,y=2\sin t-\sin 2t$$であるから$$x^{\mathrm{\prime }}=-2\sin t-2\sin 2t=-2\sin t(1+2\cos t),y^{\mathrm{\prime }}=2\cos t-2\cos 2t$$である．また
$y=2\sin t(1-\cos t)$
より，$0<t<\pi$ では $y\ge 0$ である．
代表点を計算すると$$t=0:(x,y)=(3,0),t=\frac{2\pi }{3}:(x,y)=(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}),t=\pi :(x,y)=(-1,0)$$である．
したがって，$x$ 軸の上側にある曲線で，右端 $(3,0)$ から左端 $(-1,0)$ に向かって進む形である．

選択肢は (F) である．

(2) (ii)　
$x^{\mathrm{\prime }}=-2\sin t(1+2\cos t)$ である。
$0<t<2\pi \mathrm{/}3$ では $\sin t>0$，$1+2\cos t>0$ だから
$x^{\mathrm{\prime }}<0$ となり，$x$ は単調に減少する。
また $y^{\mathrm{\prime }}=2\cos t-2\cos 2t$ は $t=2\pi \mathrm{/}3$ の前後で正から負へ
変わる。したがって該当点は$$(x,y)=(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$$である。

(2) (iii)　
曲線で囲まれた部分の面積は $S=-{\int }_0^{\pi }y{x}^{\mathrm{\prime }}dt$ である。
$y=2\sin t-\sin 2t$，$-x^{\mathrm{\prime }}=2\sin t+2\sin 2t$ より$$S={\int }_0^{\pi }(2\sin t-\sin 2t)(2\sin t+2\sin 2t)dt\mathrm{.}$$被積分関数は
$4{\sin }^{2}t+2\sin t\sin 2t-2{\sin }^{2}2t$ であり，$${\int }_0^{\pi }\sin t\sin 2tdt=0$$，$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}2tdt=\pi \mathrm{/}2$$だから $S=\pi$ である。

また，$t=0$ から $\pi$ までの道のりを $L$ とする。
$x^{\mathrm{\prime }}=-2\sin t-2\sin 2t$，$y^{\mathrm{\prime }}=2\cos t-2\cos 2t$ を用いると$$(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2=16{\sin }^2\frac{t}{2},L={\int }_0^{\pi }4\sin \frac{t}{2}dt=8.$$