上智大学 2013年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1)

$x=2$で微分可能であるから，連続であり，左右の導関数も一致する。
左側は
$-2^3+9\cdot 2-5=5$
である。よって$$\frac{3}{2-t}+s=5$$である。
また，左側の導関数は
$(-x^3+9x-5{)}^{\mathrm{\prime }}=-3x^2+9$
であり，$x=2$では$-3$である。
右側の導関数は$${(\frac{3}{x-t}+s)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{3}{(x-t{)}^2}$$だから，$x=2$で$$-\frac{3}{(2-t{)}^2}=-3$$となる。したがって
$(2-t{)}^2=1$
より，$t=1$または$3$である。
ただし，$f$はすべての実数で定義されるので，$x>2$の式で分母が0になってはならない。$t=3$では$x=3$で定義できないから不適である。よって
$t=1$
である。
これを代入して$$\frac{3}{2-1}+s=5$$より
$s=2$
である。

(2)

$t=1,s=2$より$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^3+9x-5& (x\le 2),\\ {\displaystyle \frac{3}{x-1}}+2& (x>2)\end{array}$$である。
左側の関数を$g(x)=-x^3+9x-5$とおくと，
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+9$
より，$x=-\sqrt{3}$で極小，$x=\sqrt{3}$で極大をとり，それぞれ$$g(-\sqrt{3})=-6\sqrt{3}-5,g(\sqrt{3})=6\sqrt{3}-5$$である。
右側は$x>2$で常に$$\frac{3}{x-1}+2>2$$である。
したがって，$f(x)<a$を満たす点が存在しないのは，左側でも右側でも不等式が成り立たないとき，すなわち
$a\le -6\sqrt{3}-5$
である。

(3)

$B\subset A$となる正の$b$が存在するとは，ある正の数$b$について$-b<x<b$のすべてで$f(x)<a$が成り立つことである。$x=0$では
$f(0)=-5$
であるから，必要条件は$a>-5$である。
逆に$a>-5$なら，$x=0$で$f(x)=-5<a$であり，$f$は$0$の近くで連続だから，$0$の十分近くの小さい区間がすべて$A$に入る。よって必要十分条件は
$a>-5$
である。

(4)

$A\subset B$となる正の$b$が存在するには，$A$が有界であれば十分であり，また必要でもある。
$t=1,s=2$のとき，右側の式は$x>2$で常に$2<f(x)$である。したがって$a>2$なら$A$は右へ無限に伸びて有界でない。逆に$a\le 2$なら右側には$A$に入る点がなく，左側の不等式$-x^3+9x-5<a$の解集合は有界である。よって必要十分条件は
$a\le 2$
である。

(5)

$m=-6\sqrt{3}-5$，$M=6\sqrt{3}-5$ とおく。左側の三次関数
$g(x)=-x^3+9x-5$ は，$x=-\sqrt{3}$ で極小値 $m$，
$x=\sqrt{3}$ で極大値 $M$ をとる。

$a\le m$ では $A=\mathrm{\varnothing }$ なので条件を満たさない。
$m<a\le M$ では，三次関数のグラフと水平線 $y=a$ の位置関係から，
$A$ に属する2点の間に $A$ に属さない点を選べる。特に $a=M$ では
$x=\sqrt{3}$ だけが境界となるが，その左右に $A$ の点がある。
$a>M$ では $x\le 2$ の部分が1つの半直線となり，さらに $x>2$ の部分と
つながって $A$ は1つの区間になる。

したがって必要十分条件は$$-6\sqrt{3}-5<a\le 6\sqrt{3}-5$$である。