上智大学 2015年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1)
回転後の頂点は$$A_2=(\cos \theta ,\sin \theta ,2),B_2=(-\sin \theta ,\cos \theta ,2)$$,
であり，以下同様に決まる。正方形上の点を，底面の点 $p=(x,y,0)$ に対し，上面では $(R_{\theta }p,2)$ と表すことができる。ここで $R_{\theta }$ は平面内の角 $\theta$ の回転である。

このとき平面部分のずれの大きさは$$\mathrm{\mid }p-R_{\theta }p{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{\mid }p{\mathrm{\mid }}^2(1-\cos \theta )$$であるから，$$\mathrm{\mid }{P}_1{P}_2{\mathrm{\mid }}^2=4+2\mathrm{\mid }p{\mathrm{\mid }}^2(1-\cos \theta )$$となる。正方形の周上では，原点からの距離の二乗は辺の中点で $\frac{1}{2}$，頂点で $1$ をとるので
$\frac{1}{2}\le \mathrm{\mid }p{\mathrm{\mid }}^2\le 1$
である。したがって$$\mathrm{\mid }{P}_1{P}_2{\mathrm{\mid }}_{\min }=\sqrt{5-\cos \theta }$$,$$\mathrm{\mid }{P}_1{P}_2{\mathrm{\mid }}_{\max }=\sqrt{6-2\cos \theta }$$である。

(2)
高さ $z=h$ の断面では，底面と上面を結ぶ各線分を高さの比 $h:2$ で切ることになる。したがって平面内では，回転 $R_{\theta }$ と原点中心の相似変換を合わせた像になり，断面は正方形である。

一辺の長さを $\mathrm{\ell }(h)$ とすると，$\lambda =h\mathrm{/}2$ とおいて$$\mathrm{\ell }(h{)}^2=2((1-\lambda {)}^2+{\lambda }^2+2\lambda (1-\lambda )\cos \theta )$$より$$\mathrm{\ell }(h{)}^2=2+(h^2-2h)(1-\cos \theta )$$となる。ゆえに$$\mathrm{\ell }(h)=\sqrt{2+(h^2-2h)(1-\cos \theta )}$$.
ここで $1-\cos \theta >0$ なので，$h^2-2h$ が最小となる $h=1$ で $\mathrm{\ell }(h)$ は最小となる。したがって最小値は$$\mathrm{\ell }(1)=\sqrt{1+\cos \theta }$$である。

(3)
断面積は $\mathrm{\ell }(h{)}^2$ だから，体積 $V$ は$$V={\int }_0^2\mathrm{\ell }(h{)}^{2}dh={\int }_0^2(2+(h^2-2h)(1-\cos \theta ))dh\mathrm{.}$$よって$$V=4+(1-\cos \theta )(\frac{8}{3}-4)=4-\frac{4}{3}(1-\cos \theta )=\frac{8+4\cos \theta }{3}\mathrm{.}$$(4)　
$\theta \to \pi$ では $\cos \theta \to -1$ だから$$V\to \frac{8+4(-1)}{3}=\frac{4}{3}$$.
したがって極限は ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。