上智大学 2015年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1)
$x=-1$ のとき$$\sin \frac{7\pi }{2}(-1)=\sin (-\frac{7\pi }{2})=1,-\frac{1}{7}(-1)=\frac{1}{7}$$であるから
$1>\frac{1}{7}$
が成り立つ。よって $-1\in A$ である。

$x=5$ のとき$$\sin \frac{35\pi }{2}=-1,-\frac{5}{7}$$であるから
$-1>-\frac{5}{7}$
は成り立たない。よって $5\mathrm{\notin }A$ である。

(2)
$B=(0,b),C=[c,\mathrm{\infty })$ であるから，$B\cap C=\mathrm{\varnothing }$ となるのは
$b\le c$
のときである。逆に $b>c$ なら $c<x<b$ を満たす実数 $x$ が存在して交わりは空でない。したがって必要十分条件は
$b\le c$
である。

(3)
$x\ge 7$ なら
$-\frac{1}{7}x\le -1$
である。しかも $$\sin \frac{7\pi }{2}x\ge -1$$ だから，実際には $x=7$ を含めて$$\sin \frac{7\pi }{2}x>-\frac{1}{7}x$$が成り立つ。よって
$[7,\mathrm{\infty })\subset A$
である。

一方，$x={\displaystyle \frac{3}{7}}$ では$$\sin \frac{7\pi }{2}\cdot \frac{3}{7}=\sin \frac{3\pi }{2}=-1,-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{7}=-\frac{3}{49}$$より不等式は成り立たない。したがって $(0,b)\subset A$ となる正の整数 $b$ は存在しない。

また $[7,\mathrm{\infty })\subset A$ より，$A\supset C$ となる整数 $c$ の最小は
$7$
である。

(4)
$A\cap B$ が連結であるためには，$(0,b)$ のすべての点が $A$ に入る必要があるが，そのような正の整数 $b$ は存在しない。したがって，$A\cap B$ が連結であるような正の整数 $b$ は存在しない。

また $A\cap C$ は $[c,\mathrm{\infty })$ のうち $A$ に入る部分である。$c\ge 7$ では $[c,\mathrm{\infty })\subset A$ となり，これは連結である。したがって整数で最小のものは
$7$
である。