上智大学 2017年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1)
$M$ は $A(0,-1,4)$ から $B(5,-1,4)$ へ，5秒で移動するので，$x$ 座標のみが 0 から 5 に変化する．したがって
$M(t,-1,4)$
である．

$N$ は $C(3,0,1)$ から $D(3,4,4)$ へ 5秒で移動するので，$y$ 座標は $0$ から $4$ へ，$z$ 座標は $1$ から $4$ へ変化する．よって
$N(3,\frac{4}{5}t,\frac{3}{5}t+1)$
である．

(2) $$M{N}^2=(t-3{)}^2+{(-1-\frac{4}{5}t)}^2+{(4-(\frac{3}{5}t+1))}^2$$であるから$$M{N}^2=(t-3{)}^2+{(1+\frac{4}{5}t)}^2+{(3-\frac{3}{5}t)}^2$$となる．展開すると$$M{N}^2=t^2-6t+9+1+\frac{8}{5}t+\frac{16}{25}{t}^2+9-\frac{18}{5}t+\frac{9}{25}{t}^2$$$=2t^2-8t+19$
である．よって
$M{N}^2=2(t-2{)}^2+11$
となり，$0\le t\le 5$ の範囲で最小となるのは $t=2$ のときである．そのとき$$MN=\sqrt{11}$$である．

(3)
まず$$P{M}^2=t^2+(-1{)}^2+3^2=t^2+10$$,$$P{N}^2=3^2+{\left(\frac{4}{5}t\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}t\right)}^2=9+t^2$$,
$M{N}^2=2t^2-8t+19$
である．三角形 $PMN$ の面積を $S$ とすると，ヘロンの式より$$16S^2=2(P{M}^{2}P{N}^2+P{N}^{2}M{N}^2+M{N}^{2}P{M}^2)-(P{M}^4+P{N}^4+M{N}^4)$$である．これに上の式を代入して整理すると
$16S^2=4t^4+12t^2+360$
となるから
$4S^2=t^4+3t^2+90$
である．ここで $u=t^2$ とおくと
$4S^2=u^2+3u+90$
となり，$u\ge 0$ なので$$\frac{d}{du}(u^2+3u+90)=2u+3>0$$である．したがって最小は $u=0$，すなわち $t=0$ のときに起こる．

そのとき
$4S^2=90$
より$$S=\frac{3\sqrt{10}}{2}$$である．