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上智大学 2016年度 一般選抜理工学部数学 第2問

四面体 OABC があり，次の条件が満たされているものとする．OA→⋅OB→=12,OB→⋅OC→=12,OC→⋅OA→=0,∣OA→∣2=1,∣OB→∣2=32,∣OC→∣2=1.(1) 点 B を通り，平面 OAC に垂直な直線と平面 OAC との交点を H とする．このとき，OH→ と ∣BH→∣ を求めよ．

(2) 四面体 OABC の体積を求めよ．

(3) 辺 OA 上に点 P，辺 BC 上に点 Q があり，P,Q を通る直線が OA および BC と直交しているとする．このとき，OP を OA で表し，四面体 PABQ の体積が四面体 OABC の体積の何倍であるかを求めよ．

難易度6/ 10計算量4/ 10目安20分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、内積の利用、座標設定、体積計算、小問利用

方針

座標を O=(0,0,0)，A と C をそれぞれ座標軸上に置くように定めると，OA⊥OC を利用して計算が簡単になる．まず B の座標を内積条件から決め，その垂足 H を求める．次に，高さと底面積から体積を求める．(3) は P=(t,0,0)，Q を辺 BC 上のパラメータ表示で置き，条件「PQ⊥OA,BC」を連立して t を決める．最後に座標差を使って体積比を直接計算する．

解答

(1) 座標をO=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0)とおく．すると OA→⋅OC→=0 であり，条件に合う．
点 B=(x,y,z) とおくと，OA→⋅OB→=x=12,OC→⋅OB→=y=12よりB=(12,12,z)である．また∣OB→∣2=32だから(12)2+(12)2+z2=32より
z2=1
である．平面 OAC は z=0 の平面なので，H は B の射影でありH=(12,12,0)である．したがってOH→=12OA→+12OC→かつ
∣BH→∣=1
である．

(2) 底面 OAC は直角三角形で，面積=12∣OA∣ ∣OC∣=12である．高さは (1) より ∣BH∣=1 だから，四面体の体積は13×12×1=16である．

(3) P を OA 上の点としてP=(t,0,0)(0≤t≤1)とおく．また，Q を辺 BC 上で
Q=B+s(C−B)
とおくと，Q=(1−s2,1+s2,z(1−s))である．
直線 PQ が OA に垂直であるから，PQ の x 成分は 0 でなければならない．よって1−s2−t=0すなわちt=1−s2である．
さらに PQ⊥BC より
(Q−P)⋅(C−B)=0
である．ここでC−B=(−12,12,−z)だから(0,1+s2,z(1−s))⋅(−12,12,−z)=01+s4−(1−s)=0より
s=35
である．したがってt=1−s2=15となる．よって
OP=15 OA
である．

次に，四面体 PABQ の体積を求める．P,A,B を通る平面は 2y−z=0 であるから，Q からこの平面までの距離は∣2⋅45−25∣5=655である．また，底面 PAB の面積は12⋅45⋅52=55である．したがってVPABQ=13⋅55⋅655=225である．ゆえに体積比はVPABQVOABC=2/251/6=1225である．

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出典: 上智大学 2016年度 理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。