上智大学 2016年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1) $$f(-1)=a\sin \left((b-\frac{1}{2})\pi \right)+c=0$$,
$f(0)=a\sin (b\pi )+c=0$,$$f(1)=a\sin \left((b+\frac{1}{2})\pi \right)+c=1$$である．ここで$$\sin \left((b-\frac{1}{2})\pi \right)=-\cos (b\pi ),\sin \left((b+\frac{1}{2})\pi \right)=\cos (b\pi )$$より$$-a\cos (b\pi )+c=0,a\sin (b\pi )+c=0,a\cos (b\pi )+c=1$$となる．最初と2番目を比べて$$a\sin (b\pi )=-c=a\cos (b\pi )$$なので
$\sin (b\pi )=-\cos (b\pi )$
である．よって
$\tan (b\pi )=-1$
となり，$-1<b\le 1$ より
$b=-\frac{1}{4}$
である．これを3式目に代入すると$$a\cos (-\frac{\pi }{4})+c=1$$かつ $c=a\cos (-\frac{\pi }{4})$ だから$$2a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$$より$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$$である．

(2) $$-a\cos (b\pi )+c=0,a\sin (b\pi )+c=-1,a\cos (b\pi )+c=1$$である．
最初と3番目から
$2a\cos (b\pi )=1$
であり，また最初の式から
$c=a\cos (b\pi )=\frac{1}{2}$
である．したがって2番目は
$a\sin (b\pi )+\frac{1}{2}=-1$
すなわち
$a\sin (b\pi )=-\frac{3}{2}$
となる．これを $a\cos (b\pi )=\frac{1}{2}$ と合わせると
$\tan (b\pi )=-3$
である．
さらに$$a^2{\sin }^2(b\pi )+a^2{\cos }^2(b\pi )=a^2$$に $a\sin (b\pi )=-\frac{3}{2}$，$a\cos (b\pi )=\frac{1}{2}$ を代入して
$\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=a^2$
より
$a^2=\frac{5}{2}$
となる．したがって$${\cos }^2(b\pi )=\frac{(1\mathrm{/}2{)}^2}{5\mathrm{/}2}=\frac{1}{10}$$である．また $a\cos (b\pi )=\frac{1}{2}>0$ より $\cos (b\pi )>0$ だから$$\cos (b\pi )=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$である．

(3) $$u=f(-1),v=f(0),w=f(1)$$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle u}& {\displaystyle =-a\cos (b\pi )+c,}\\ {\displaystyle v}& {\displaystyle =a\sin (b\pi )+c,}\\ {\displaystyle w}& {\displaystyle =a\cos (b\pi )+c}\end{array}$$である．

(i) $A\supset B$ は，$u,v,w\in \{-1,0,1\}$ であればよい．実現可能な組を数えると，条件を満たすのは $24$ 通りである．また，$f(x)$ が $-1<x<1$ で最小値をとるのは，その最小点が開区間内に入るものに限られ，その個数は $11$ 通りである．

(ii) $A=B$ すなわち $\{u,v,w\}=\{-1,0,1\}$ であるから，3つの値がすべて相異なり，それぞれ1回ずつ現れる必要がある．したがって
$3!=6$
通りである．