上智大学 2017年度理工学部数学第1問｜問題・解答・解説

上智大学 2017年度一般選抜理工学部数学第1問

$i$ を虚数単位とする．
(1) $α = 2 + (1 - \sqrt{3}) i$ ， $β = 1 + 3 i$ を複素数平面上の点とする．
(i) 点 $β$ を中心として，点 $α$ を反時計回りに $\frac{π}{2}$ だけ回転すると，得られる点を求めよ．
(ii) 点 $α$ を，ある点を中心として時計回りに $\frac{5 π}{6}$ だけ回転すると点 $β$ に重なる．その中心となる点を求めよ．
(2) 複素数 $z$ は $∣ z ∣ = 1$ を満たすとする． $w = \frac{- z + 2 i}{2 z + i}$ とおくとき， $∣ w ∣$ のとり得る値の最大値と最小値を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安16分

方針

(1) (i) は，中心ベクトルを引いてから $\frac{π}{2}$ 回転し，最後に中心を戻す．
(1)(ii) は，回転の中心を $c$ とおき， $β - c = e^{- 5 π i / 6} (α - c)$ を解く．
(2) は $z = x + y i$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ とおいて $∣ w ∣^{2}$ を $y$ の式にし，単調性から端点で最大最小を判定する．

解答

(1)
(i) まず $α - β = (2 - 1) + ((1 - \sqrt{3}) - 3) i = 1 - (2 + \sqrt{3}) i$ である．これを反時計回りに $\frac{π}{2}$ 回転すると， $i$ を掛けて $i (1 - (2 + \sqrt{3}) i) = (2 + \sqrt{3}) + i$ となる．したがって，求める点は $β + (2 + \sqrt{3}) + i = (1 + 3 i) + (2 + \sqrt{3}) + i = (3 + \sqrt{3}) + 4 i$ である．

(ii) 中心を $c$ とすると，時計回りに $\frac{5 π}{6}$ 回転するので $β - c = e^{- 5 π i / 6} (α - c)$ が成り立つ．ここで $u = e^{- 5 π i / 6}$ とおくと $c = \frac{u α - β}{u - 1}$ である．

$u = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ を用いて計算すると
$c = 2 + (3 - \sqrt{3}) i$
となる．

(2) $z = x + y i$ ， $x^{2} + y^{2} = 1$ とおくと $∣ w ∣^{2} = \frac{∣ - z + 2 i ∣^{2}}{∣ 2 z + i ∣^{2}} = \frac{x^{2} + (2 - y)^{2}}{(2 x)^{2} + (2 y + 1)^{2}}$ である．ここで $x^{2} = 1 - y^{2}$ を用いると $∣ - z + 2 i ∣^{2} = 1 - y^{2} + 4 - 4 y + y^{2} = 5 - 4 y$ , $∣ 2 z + i ∣^{2} = 4 (1 - y^{2}) + (2 y + 1)^{2} = 5 + 4 y$ より $∣ w ∣^{2} = \frac{5 - 4 y}{5 + 4 y} (- 1 \leq y \leq 1)$ となる．
右辺は $\frac{d}{d y} (\frac{5 - 4 y}{5 + 4 y}) = \frac{- 40}{(5 + 4 y)^{2}} < 0$ なので， $y$ が大きいほど小さくなる．したがって最大値は $y = - 1$ のとき，最小値は $y = 1$ のときである．

$y = - 1$ では
$∣ w ∣^{2} = 9$
より
$∣ w ∣ = 3$
であり， $y = 1$ では $∣ w ∣^{2} = \frac{1}{9}$ より
$∣ w ∣ = \frac{1}{3}$
である．

よって，最大値は $3$ ，最小値は $\frac{1}{3}$ である．

出典: 上智大学 2017年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2017年度 一般選抜理工学部数学 第1問

方針

解答

上智大学 2017年度一般選抜理工学部数学第1問