上智大学 2017年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第1問

(1) 不等式 $x^{\log_{3} x^{3}} ≧ {(\frac{27}{x^{2}})}^{3}$ を解け。

(2) $f (x) = x^{2} + 3 x$ とし，方程式 $f (x) = 0$ の解を
$α, β (α < β)$ とする。 $a < α, β < b$ を満たす
実数 $a, b$ に対して $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x - \int_{a}^{b} f (x) d x$ の値を求めよ。

(3) 次の各命題で，前件が後件であるための必要条件・十分条件の関係を
選択肢から選べ。

(i) $x + y > 0$ であることと， $x y > 0$ であること。

(ii) $x^{2} + y^{2} > 2 x y$ であることと， $x \neq y$ であること。

(iii) $f (x) = {\begin{cases} - x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + 12, & x ≦ - 1, \\ x^{3} + 2 x^{2} - 7 x - 4, & - 1 < x ≦ 2, \\ ∣ \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 16 ∣ - 8, & 2 < x \end{cases}$ に対し， $x = 4, 8$ で $f (x)$ が最小値をとること。

選択肢は (a) 必要だが十分でない，(b) 十分だが必要でない，
(c) 必要十分，(d) 必要でも十分でもない，とする。

難易度5/ 10計算量6/ 10目安24分

方程式・不等式、関数、積分、論証・証明　同値変形、絶対値の処理、必要十分条件、増減表

方針

(1) 真数条件を確認して底3の対数をとる。(2) $f (x) < 0$ となる区間だけが差に寄与する。(3) (i) は反例を2方向に作り，(ii) は平方差に直し，(iii) は区間ごとの導関数から最小点を比較する。

解答

(1) 真数条件から $x > 0$ である。両辺は正なので底3の対数をとると $3 (\log_{3} x)^{2} ≧ 3 (3 - 2 \log_{3} x) ⟺ (\log_{3} x - 1) (\log_{3} x + 3) ≧ 0.$ よって $\log_{3} x ≦ - 3$ または $\log_{3} x ≧ 1$ であり，
$0 < x ≦ 1 / 27$ または $x ≧ 3$ である。

(2) $α = - 3, β = 0$ であり， $(- 3, 0)$ では
$f (x) < 0$ である。したがって求める差は $- 2 \int_{- 3}^{0} (x^{2} + 3 x) d x = 9.$ (3) (i) $x + y > 0 \Rightarrow x y > 0$ には
$(x, y) = (2, - 1)$ ，逆向きには $(- 1, - 1)$ が反例となるので (d)。
(ii) $x^{2} + y^{2} > 2 x y ⟺ (x - y)^{2} > 0 ⟺ x \neq y$ より (c)。

(iii) 各区間で増減を調べると，最小値の候補は
$x = - 7 / 3, 1, 4, 8$ である。 $f (1) = f (4) = f (8) = - 8$ ，
$f (- 7 / 3) = - 68 / 27 > - 8$ だから， $x = 4, 8$ は最小点である。
一方 $x = 1$ も最小点なので，これは十分だが必要ではない。よって (b)。

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出典: 上智大学 2017年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2017年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第1問

方針

解答

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