東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

与式を $n$ について書くと$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{4S_k}{a_k+2}}=S_n$$である。$n-1$ についても同じ式が成り立つので、両者を引くと $${\displaystyle \frac{4S_n}{a_n+2}}=S_n-S_{n-1}=a_n$$ を得る。したがって $4S_n=a_n(a_n+2)$ である。

まず $n=1$ では $S_1=a_1$ だから $4a_1=a_1(a_1+2)$ である。$a_1>0$ より両辺を $a_1$ で割って $4=a_1+2$ となり、$a_1=2$ である。

次に $n\geqq 2$ とする。上の関係式から $4S_n=a_n^2+2a_n$ であり、また $S_{n-1}=S_n-a_n$ なので $$4S_{n-1}=4S_n-4a_n=a_n^2-2a_n$$ である。一方、同じ関係式を $n-1$ に用いると $$4S_{n-1}=a_{n-1}(a_{n-1}+2)=a_{n-1}^2+2a_{n-1}$$ である。したがって $$a_n^2-2a_n=a_{n-1}^2+2a_{n-1}$$ であり、$(a_n-1{)}^2=(a_{n-1}+1{)}^2$ となる。ここで $a_n>0$、$a_{n-1}>0$ であるから、もし $a_n-1=-(a_{n-1}+1)$ なら $a_n=-a_{n-1}<0$ となって不可能である。よって $a_n-1=a_{n-1}+1$ すなわち $a_n=a_{n-1}+2$ である。

初項 $a_1=2$ だから $a_n=2n$ である。したがって $$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n=2(1+2+\cdots +n)=n(n+1)$$ である。

与式の隣り合う2つを引いて $4S_n=a_n(a_n+2)$ を得る。これを $n,n-1$ で比較し、平方の等式から正値条件によって許される符号だけを選ぶ。

与式を $n$ と $n-1$ で書いて引くと$${\displaystyle \frac{4S_n}{a_n+2}}=S_n-S_{n-1}=a_n\mathrm{.}$$したがって$$4S_n=a_n(a_n+2)\mathrm{.}$$$n=1$ では $S_1=a_1>0$ なので$$4a_1=a_1(a_1+2),a_1=2.$$$n\geqq 2$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4S_{n-1}}& {\displaystyle =4(S_n-a_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a_n^2-2a_n,}\end{array}$$一方$$4S_{n-1}=a_{n-1}^2+2a_{n-1}\mathrm{.}$$よって$$(a_n-1{)}^2=(a_{n-1}+1{)}^2\mathrm{.}$$$a_n,a_{n-1}>0$ だから負号を選ぶと $a_n=-a_{n-1}$ となって不可能である。したがって$$a_n-1=a_{n-1}+1,a_n=a_{n-1}+2.$$$a_1=2$ より$$a_n=2n\mathrm{.}$$ゆえに$$S_n=\sum _{k=1}^{n}2k=n(n+1)\mathrm{.}$$