東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
まず $a_n$ を求める。$a_n=p^{{\alpha }_n}$ とおくと、$a_1=p^2$ より ${\alpha }_1=2$ である。また $$a_{n+1}=\sqrt{p{a}_n}$$ より $${\alpha }_{n+1}={\displaystyle \frac{1+{\alpha }_n}{2}}$$ である。したがって $${\alpha }_{n+1}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}({\alpha }_n-1)$$ であり、${\alpha }_1-1=1$ だから $${\alpha }_n-1={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$$ である。よって $a_n=p^{1+1\mathrm{/}{2}^{n-1}}$ である。

次に $b_n$ を求める。$$b_n=2^{{\beta }_n}{p}^{{\gamma }_n}$$ とおく。$b_1=2\mathrm{/}p$ より $${\beta }_1=1,{\gamma }_1=-1$$ である。また $$b_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{b_n}{2^n}}}$$ なので$${\beta }_{n+1}={\displaystyle \frac{{\beta }_n-n}{2}},{\gamma }_{n+1}={\displaystyle \frac{{\gamma }_n}{2}}$$である。後者から $${\gamma }_n=-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$$ である。前者については、${\beta }_n=2-n$ が成り立つ。実際、$n=1$ で $1=2-1$ であり、${\beta }_n=2-n$ なら $${\beta }_{n+1}={\displaystyle \frac{2-n-n}{2}}=1-n=2-(n+1)$$ となる。よって $$b_n=2^{2-n}{p}^{-1\mathrm{/}{2}^{n-1}}$$ である。

(2)
(1)より $$a_n{b}_n=p^{1+1\mathrm{/}{2}^{n-1}}\cdot 2^{2-n}{p}^{-1\mathrm{/}{2}^{n-1}}=p{2}^{2-n}$$ である。したがって $$\sqrt{a_n{b}_n}=\sqrt{p}{2}^{1-n\mathrm{/}2}$$ である。

よって $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{a_n{b}_n}=\sqrt{p}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{1-n\mathrm{/}2}$$ である。この和は初項 $\sqrt{2}$、公比 $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の等比級数なので $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{1-n\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{1-1\mathrm{/}\sqrt{2}}}=2(1+\sqrt{2})$$ である。したがって条件は $$2(1+\sqrt{2})\sqrt{p}=1$$ である。よって $$\sqrt{p}={\displaystyle \frac{1}{2(1+\sqrt{2})}}$$ であり$$p={\displaystyle \frac{1}{4(1+\sqrt{2}{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{4(3+2\sqrt{2})}}={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{4}}$$である。

最初の数項から一般項の形を予想し、2つの漸化式へ代入して数学的帰納法で証明する。積 $a_n{b}_n$ では $p$ の細かな指数が消え、等比級数が直ちに現れる。

(1)
一般項を$$a_n=p^{1+2^{1-n}},b_n=2^{2-n}{p}^{-2^{1-n}}$$と予想する。$n=1$ ではそれぞれ $p^2,2\mathrm{/}p$ となり正しい。

これらが $n$ で成り立つとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\sqrt{p{a}_n}=p^{1+2^{-n}},}\\ {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\sqrt{{\displaystyle \frac{b_n}{2^n}}}=2^{1-n}{p}^{-2^{-n}}\mathrm{.}}\end{array}$$これは $n+1$ の式である。よって数学的帰納法により一般項が示された。

(2) $$a_n{b}_n=p{2}^{2-n}$$なので$$\sqrt{a_n{b}_n}=\sqrt{p}{2}^{1-n\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{a_n{b}_n}}& {\displaystyle =\sqrt{p}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{1-n\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1+\sqrt{2})\sqrt{p}\mathrm{.}}\end{array}$$これが1であるから$$\sqrt{p}={\displaystyle \frac{1}{2(1+\sqrt{2})}}\mathrm{.}$$よって$$p={\displaystyle \frac{3-2\sqrt{2}}{4}}\mathrm{.}$$