東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$b_n=a_{n+1}-a_n$$とおく。与えられた漸化式は$$b_{n+1}-b_n=2n-8$$となる。また $b_1=a_2-a_1=-2$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =-2+\sum _{k=1}^{n-1}(2k-8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2+n(n-1)-8(n-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n^2-9n+6.}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+\sum _{k=1}^{n-1}(k^2-9k+6)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n^3-15n^2+32n-12}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-2)(n^2-13n+6)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2) 増減は$$a_{n+1}-a_n=b_n=n^2-9n+6$$の符号で決まる。この2次式の2解は$${\displaystyle \frac{9-\sqrt{57}}{2}},{\displaystyle \frac{9+\sqrt{57}}{2}}$$であり$$0<{\displaystyle \frac{9-\sqrt{57}}{2}}<1,8<{\displaystyle \frac{9+\sqrt{57}}{2}}<9.$$したがって $b_n<0$ は $1\leqq n\leqq 8$、$b_n>0$ は $n\geqq 9$ で成り立つ。つまり $a_n$ は $a_9$ まで減少し、その後増加する。よって最小となるのは $n=9$ で、$$a_9={\displaystyle \frac{(9-2)(9^2-13\cdot 9+6)}{3}}=-70.$$

2階差が1次式なので、一般項は3次式と予想できる。$a_n=A{n}^3+B{n}^2+Cn+D$ を代入して係数を比較し、初期条件で残りを決める。最小値は得られた式の隣接差を因数の符号で調べる。

(1) 3次式$$a_n=A{n}^3+B{n}^2+Cn+D$$を仮定する。$n^3$ の2階差は $6n+6$、$n^2$ の2階差は2だから$$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=6An+(6A+2B)\mathrm{.}$$これが $2n-8$ に等しいことから$$A={\displaystyle \frac{1}{3}},B=-5.$$よって$$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{n}^3-5n^2+Cn+D\mathrm{.}$$$a_1=2,a_2=0$ を代入すると$$C+D={\displaystyle \frac{20}{3}},2C+D={\displaystyle \frac{52}{3}},$$したがって $C=32\mathrm{/}3,D=-4$ である。ゆえに$$a_n={\displaystyle \frac{n^3-15n^2+32n-12}{3}}={\displaystyle \frac{(n-2)(n^2-13n+6)}{3}}\mathrm{.}$$(2) 隣接差は$$a_{n+1}-a_n=n^2-9n+6.$$直接 $n=8,9$ の前後を調べると$$b_8=-2<0,b_9=6>0$$であり、上に開く2次式の2解が0と1の間、8と9の間にあるため、この1か所だけで符号が負から正へ変わる。したがって最小項は第9項で$$a_9=-70$$である。