東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\vec{v}=(x,y)$ とおく。ただし $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。このとき $T\vec{v}=(ax-by,bx+ay)$ であるから $$\mathrm{\mid }T\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=(ax-by{)}^2+(bx+ay{)}^2$$ となる。右辺を展開すると $$a^2{x}^2-2abxy+b^2{y}^2+b^2{x}^2+2abxy+a^2{y}^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }T\vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}=\sqrt{a^2+b^2}$$ である。

(2) $(a,b)\mathrm{\ne }(0,0)$ なので $\det T=a^2+b^2>0$ であり、$T$ は逆行列をもつ。集合 $$\{T^n\mid n=0,1,2,\dots \}$$ が有限なら、ある整数 $m>n$ について $T^m=T^n$ である。両辺に $T^n$ の逆行列を掛けると $T^{m-n}=E$ となる。

(1) より、$T$ を1回作用させるとベクトルの長さは $$r=\sqrt{a^2+b^2}$$ 倍になる。したがって $T^{m-n}=E$ では長さの倍率が $r^{m-n}=1$ でなければならない。$r>0$ だから $r=1$ である。よって $a^2+b^2=1$ となるので、ある実数 $\theta$ を用いて $$a=\cos \theta ,b=\sin \theta$$ と書ける。したがって$$T=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$であり、これは原点のまわりの回転を表す行列である。

(3)
要素が2個であるためには、$T\mathrm{\ne }E$ かつ $T^2=E$ でなければならない。(2)より $T$ は回転行列であるから、回転角を $\theta$ とすると、$T^2=E$ は $2\theta$ が1回転の整数倍であることを意味する。さらに $T\mathrm{\ne }E$ だから、回転角は半回転である。すなわち $$\cos \theta =-1,\sin \theta =0$$ である。よって $a=-1,b=0$ である。

ベクトル $(x,y)$ を複素数 $z=x+yi$ とみなすと、$T$ は $a+bi$ を掛ける操作である。絶対値と偏角の性質から倍率と回転を読み、有限性を複素数の累乗で判定する。

(1)
$(x,y)$ を複素数 $z=x+yi$ とみなす。$T$ の作用は$$(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(bx+ay)i$$に一致する。したがって絶対値の積の性質から$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }T\vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}=\mathrm{\mid }a+bi\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}$$(2)
$w=a+bi\mathrm{\ne }0$ とおく。集合$$\{1,w,w^2,\dots \}$$が有限なら、ある $m>n$ について $w^m=w^n$ である。$w^n\mathrm{\ne }0$ なので$$w^{m-n}=1.$$絶対値を取ると$$\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^{m-n}=1$$であり、$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=1$ となる。よって$$a=\cos \theta ,b=\sin \theta$$と書け、$T$ は原点中心の回転を表す。

(3)
集合の要素が2個なら$$T\mathrm{\ne }E,T^2=E\mathrm{.}$$複素数では $w\mathrm{\ne }1,w^2=1$ だから $w=-1$ に限る。したがって$$a=-1,b=0.$$