東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) 変換の不動点は$$x={\displaystyle \frac{5x+8}{x+3}}$$を満たす値である。整理すると$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0$$だから、不動点は $4,-2$ である。実際$$x_{n+1}-4={\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+3}},$$$$x_{n+1}+2={\displaystyle \frac{7(x_n+2)}{x_n+3}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{x_{n+1}-4}{x_{n+1}+2}}={\displaystyle \frac{1}{7}}{\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+2}}\mathrm{.}$$したがって $a<b$ を満たす求める値は$$a=-4,b=2.$$(2)$$y_n={\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+2}}$$とおくと、公比は $1\mathrm{/}7$ で$$y_1={\displaystyle \frac{19-4}{19+2}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\mathrm{.}$$したがって$$y_n={\displaystyle \frac{5}{7^n}}\mathrm{.}$$これを $x_n$ について解くと$$7^n(x_n-4)=5(x_n+2),$$よって$$x_n={\displaystyle \frac{4\cdot 7^n+10}{7^n-5}}\mathrm{.}$$(3) 分子・分母を $7^n$ で割れば$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{4+10\mathrm{/}{7}^n}{1-5\mathrm{/}{7}^n}}=4.$$

極限候補4との差 $x_n-4$ に注目し、その逆数 $z_n=1\mathrm{/}(x_n-4)$ を取る。$z_n$ は1次の非同次漸化式になり、定数を足して等比数列へ直せる。一般項から元の $x_n$ と極限を求める。

(1) $$x_{n+1}-4={\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+3}},x_{n+1}+2={\displaystyle \frac{7(x_n+2)}{x_n+3}}$$だから$${\displaystyle \frac{x_{n+1}-4}{x_{n+1}+2}}={\displaystyle \frac{1}{7}}{\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+2}}\mathrm{.}$$よって$$y_n={\displaystyle \frac{x_n-4}{x_n+2}}$$が等比数列となり$$a=-4,b=2.$$(2) 別の形で一般項を求めるため$$z_n={\displaystyle \frac{1}{x_n-4}}$$とおく。上の差の式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x_n+3}{x_n-4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+7z_n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$z_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}=7(z_n+{\displaystyle \frac{1}{6}})\mathrm{.}$$$z_1=1\mathrm{/}15$ なので$$z_1+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{7}{30}}$$であり$$z_n+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{7^n}{30}}\mathrm{.}$$よって$$z_n={\displaystyle \frac{7^n-5}{30}}\mathrm{.}$$これを $x_n=4+1\mathrm{/}{z}_n$ に戻すと$$x_n=4+{\displaystyle \frac{30}{7^n-5}}={\displaystyle \frac{4\cdot 7^n+10}{7^n-5}}\mathrm{.}$$(3) 上式から $30\mathrm{/}(7^n-5)\to 0$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=4.$$