東北大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

まず分母を計算する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1^2+3^2+\cdots +(2k-1{)}^2}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^k(2j-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=1}^k(4j^2-4j+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot {\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}-4\cdot {\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k(4k^2-1)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{k}{1^2+3^2+\cdots +(2k-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{k}{k(4k^2-1)\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}}$$ここで $${\displaystyle \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2k+1}})$$ と部分分数分解できる。よって求める和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{1^2+3^2+\cdots +(2k-1{)}^2}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{2k-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{2n+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3n}{2n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$

奇数平方和と求める和の式を、数学的帰納法で同時に確認する。
望遠和の展開ではなく、$n$ から $n+1$ への差が次の被加数に一致することを示す。

まず$$T_k=1^2+3^2+\cdots +(2k-1{)}^2$$とおく。帰納法により$$T_k={\displaystyle \frac{k(4k^2-1)}{3}}$$である。実際 $k=1$ で成立し、右辺の $k+1$ と $k$ の差は$${\displaystyle \frac{(k+1)(4(k+1{)}^2-1)-k(4k^2-1)}{3}}=(2k+1{)}^2$$である。

したがって第 $k$ 項は$${\displaystyle \frac{k}{T_k}}={\displaystyle \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}}\mathrm{.}$$求める和を $S_n$ とする。$n=1$ では$$S_1=1={\displaystyle \frac{3\cdot 1}{2\cdot 1+1}}\mathrm{.}$$$$S_n={\displaystyle \frac{3n}{2n+1}}$$ と仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3n}{2n+1}}+{\displaystyle \frac{3}{(2n+1)(2n+3)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3(n+1)}{2n+3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって帰納法により$$S_n={\displaystyle \frac{3n}{2n+1}}$$である。