東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
最後が $++$ または $--$ で終わる列には、同じ記号をさらに付けることはできない。したがって次の1個は必ず反対の記号であり、長さ $n+1$ では最後が異なる2文字で終わる。

一方、最後が $+-$ または $-+$ で終わる列には、最後と同じ記号を付ければ最後が同じ2文字になり、最後と反対の記号を付ければ最後が異なる2文字になる。よって $$a_{n+1}=b_n,b_{n+1}=a_n+b_n$$ である。

(2) $$a_{n+1}+r{b}_{n+1}=b_n+r(a_n+b_n)=r{a}_n+(r+1)b_n$$ である。これが公比 $r$ の等比数列になるには $$a_{n+1}+r{b}_{n+1}=r(a_n+r{b}_n)=r{a}_n+r^2{b}_n$$ が必要である。したがって $r+1=r^2$ すなわち $r^2-r-1=0$ である。よって $$r={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},r={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$ である。

(3) $$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$$ とおく。長さ2の列では $a_2=2,b_2=2$ であるから $$a_2+\alpha b_2=2+2\alpha =2{\alpha }^2$$ である。したがって $a_n+\alpha b_n$ は公比 $\alpha$ の等比数列なので $$a_n+\alpha b_n=2{\alpha }^n$$ である。同様に $a_n+\beta b_n=2{\beta }^n$ である。

この2式を引くと $$(\alpha -\beta )b_n=2({\alpha }^n-{\beta }^n)$$ であり、$\alpha -\beta =\sqrt{5}$ だから $$b_n={\displaystyle \frac{2({\alpha }^n-{\beta }^n)}{\sqrt{5}}}$$ である。また、上の2式から総数を直接取り出すと $$a_n+b_n={\displaystyle \frac{2({\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1})}{\sqrt{5}}}$$ となる。よって求める個数は$${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\{{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n+1}-{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n+1}\}$$である。

末尾2文字による遷移で (1)(2) を得る。(3) は総数だけを見てフィボナッチ型漸化式を作り、(2) の2根を特性根として一般項を決める。

(1)
末尾が同符号の列には反対符号しか付けられない。末尾が異符号の列には、同符号・反対符号のどちらも付けられる。よって$$a_{n+1}=b_n,b_{n+1}=a_n+b_n\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}+r{b}_{n+1}}& {\displaystyle =r{a}_n+(r+1)b_n\mathrm{.}}\end{array}$$これが $r(a_n+r{b}_n)$ に等しいための条件は$$r+1=r^2\mathrm{.}$$したがって$$r=\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},r=\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$(3)
総数を $c_n=a_n+b_n$ とする。長さ $n+1$ の許される列は、末尾の1文字を除くと長さ $n$ の列になる。同じ符号を2個続けた列だけは、その直前の符号が反対に決まるので、分類すると$$c_{n+1}=c_n+c_{n-1}\mathrm{.}$$初期値は$$c_1=2,c_2=4.$$(2)の $\alpha ,\beta$ は $r^2=r+1$ の2根だから$$c_n=A{\alpha }^n+B{\beta }^n\mathrm{.}$$初期値を代入して整理すると$$c_n={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}({\alpha }^{n+1}-{\beta }^{n+1})\mathrm{.}$$したがって$$a_n+b_n={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\{{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n+1}-{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^{n+1}\}\mathrm{.}$$