東北大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
与式は$${\int }_0^{x}f(t)dt=x\sqrt{f(x)}$$である。$x>0$ で両辺を $x$ で割ると$${\displaystyle \frac{1}{x}}{\int }_0^{x}f(t)dt=\sqrt{f(x)}$$となる。$f$ は連続で正の値をとるので、$x\to 0+$ とすると左辺は $f(0)$、右辺は $\sqrt{f(0)}$ に近づく。したがって $$f(0)=\sqrt{f(0)}$$ である。$f(0)>0$ より $f(0)=1$ である。

(2) $$g(x)=\sqrt{f(x)}$$ とおく。すると $f(x)=g(x{)}^2$ であり、与式は$${\int }_0^{x}f(t)dt=xg(x)$$となる。左辺は微分すると $f(x)=g(x{)}^2$、右辺は微分すると $g(x)+x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)$ である。よって $x>0$ で $g(x{)}^2=g(x)+x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)$ すなわち $x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x{)}^2-g(x)$ である。

(3)
(2)の微分方程式を $${\displaystyle \frac{g^{\mathrm{\prime }}}{g(g-1)}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$$ と分離する。ただし $g=1$ の定数解も、以下の式で定数を $0$ とする場合に含まれる。部分分数に直すと $${\displaystyle \frac{1}{g(g-1)}}=-{\displaystyle \frac{1}{g}}+{\displaystyle \frac{1}{g-1}}$$ であるから $$\log \mid {\displaystyle \frac{g-1}{g}}\mid =\log x+\text{定数}$$ となる。したがって、ある定数 $C$ を用いて $${\displaystyle \frac{g-1}{g}}=Cx$$ と書ける。これを解くと $g(x)={\displaystyle \frac{1}{1-Cx}}$ である。

条件 $f(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ より、$g(1)>0$ であることに注意して $g(1)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{1-C}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ より $C=1-\sqrt{2}$ である。よって $$g(x)={\displaystyle \frac{1}{1+(\sqrt{2}-1)x}}$$ であり、求める関数は $$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\{1+(\sqrt{2}-1)x{\}}^2}}$$ である。

まず連続性から $f(0)$ を決める。微分方程式を得た後、$h=1\mathrm{/}\sqrt{f}$ と置くと一次方程式になり、初期条件を直接代入できる。

(1)
$x>0$ で与式を $x$ で割ると$${\displaystyle \frac{1}{x}}{\int }_0^{x}f(t)dt=\sqrt{f(x)}\mathrm{.}$$$x\to 0+0$ とすれば$$f(0)=\sqrt{f(0)}\mathrm{.}$$$f(0)>0$ より$$f(0)=1.$$(2)$$g=\sqrt{f}$$ とおくと$${\int }_0^{x}g(t{)}^{2}dt=xg(x)\mathrm{.}$$両辺を微分して$$g(x{)}^2=g(x)+x{g}^{\mathrm{\prime }}(x),$$すなわち$$x{g}^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)\{g(x)-1\}\mathrm{.}$$(3)$$h(x)={\displaystyle \frac{1}{g(x)}}$$とおく。$g>0$ だからこの置換ができる。(2)から$$x{h}^{\mathrm{\prime }}(x)=h(x)-1.$$よって$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{h(x)-1}{x}}\right)=0$$であり、ある定数 $C$ を用いて$$h(x)=1+Cx\mathrm{.}$$$f(1)=1\mathrm{/}2$ から $g(1)=1\mathrm{/}\sqrt{2}$、したがって $h(1)=\sqrt{2}$ なので$$C=\sqrt{2}-1.$$ゆえに$$f(x)=g(x{)}^2={\displaystyle \frac{1}{\{1+(\sqrt{2}-1)x{\}}^2}}\mathrm{.}$$