東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$\overrightarrow{OP}=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ であるから、求める直線の法線ベクトルは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。したがって直線は $$x\cos \theta +y\sin \theta =C$$ と表せる。この直線は $$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ を通るので $$C=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$$ である。よって $$x\cos \theta +y\sin \theta =r$$ である。

(2)
(1)より、原点から下ろした垂線の方向が $\theta$ で長さが $r$ である接線は $$x\cos \theta +y\sin \theta =r$$ と書ける。この直線が楕円に接するには、楕円上で $x\cos \theta +y\sin \theta$ がとる最大値がちょうど $r$ であればよい。

楕円上の点を $(x,y)=(a\cos u,b\sin u)$ とおくと $$x\cos \theta +y\sin \theta =a\cos u\cos \theta +b\sin u\sin \theta$$ である。これは $u$ について $A\cos u+B\sin u$ の形であり、最大値は $\sqrt{A^2+B^2}$ である。ここで $A=a\cos \theta$, $B=b\sin \theta$ だから $$r=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$$ である。

(1) はOPを法線とする直線の標準形を書く。(2)は楕円の接点を媒介表示し、接線公式と原点から直線までの距離を使って法線方向との関係を消去する。

(1)

$\overrightarrow{OP}$ と直交する直線の単位法線は$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$である。$$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ を通るので$$x\cos \theta +y\sin \theta =r\mathrm{.}$$(2)

接点を$$(a\cos u,b\sin u)$$と置くと、接線は$${\displaystyle \frac{x\cos u}{a}}+{\displaystyle \frac{y\sin u}{b}}=1.$$原点からこの直線までの距離は$$r={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\cos }^{2}u\mathrm{/}{a}^2+{\sin }^{2}u\mathrm{/}{b}^2}}}\mathrm{.}$$単位法線が $(\cos \theta ,\sin \theta )$ だから$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{r\cos u}{a}},\sin \theta ={\displaystyle \frac{r\sin u}{b}}\mathrm{.}$$したがって$$a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta =r^2({\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u)=r^2\mathrm{.}$$$r>0$ より$$r=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }\mathrm{.}$$