東北大学 2000年度 前期日程文系数学 第4問

(1) $P(t)$ は $AB$ を $t:1-t$ に内分する点だから $$P(t)=(1-t)A+tB=(-a(1-t),bt)$$ である。同様に $$Q(t)=(1-t)B+tC=(at,b(1-t))$$ である。さらに $R(t)$ は $P(t)Q(t)$ を $t:1-t$ に内分するので $R(t)=(1-t)P(t)+tQ(t)$ であり、座標は $$x=a(2t-1),y=2bt(1-t)$$ となる。

ここで $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{x}{a}})$$ だから$$y=2b\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{x}{a}})\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x}{a}})={\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})$$である。$0\leqq t\leqq 1$ より $-a\leqq x\leqq a$ なので、曲線 $R$ は $$y={\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})(-a\leqq x\leqq a)$$ である。

(2)
直線 $l(t)$ は $P(t),Q(t)$ を通る。傾きは $${\displaystyle \frac{b(1-t)-bt}{at-(-a(1-t))}}={\displaystyle \frac{b(1-2t)}{a}}$$ である。したがって、$P(t)$ を通る形で $$y-bt={\displaystyle \frac{b(1-2t)}{a}}\{x+a(1-t)\}$$ と書ける。整理すれば $$l(t):y={\displaystyle \frac{b(1-2t)}{a}}x+b(1-2t+2t^2)$$ である。

一方、曲線 $R$ の媒介変数表示から $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=2a,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=2b(1-2t)$$ なので、$R(t)$ における接線の傾きは $${\displaystyle \frac{dy\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}}={\displaystyle \frac{b(1-2t)}{a}}$$ である。また $R(t)$ は線分 $P(t)Q(t)$ 上の点であるから、直線 $l(t)$ 上にある。よって $l(t)$ は点 $R(t)$ で曲線 $R$ に接する。

(3)
三角形 $ABC$ の上側の境界は、$-a\leqq x\leqq 0$ で直線 $AB$、$0\leqq x\leqq a$ で直線 $BC$ である。$l(t)$ は曲線 $R$ の接線であり、この放物線は上に凸、すなわち下向きの放物線なので、接線は放物線の上側にある。したがって、三角形内で $l(t)$ が通る点の領域は、三角形 $ABC$ の内部のうち $$y\geqq {\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})$$ を満たす部分である。

三角形 $ABC$ の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2a\cdot b=ab$$ である。また放物線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は$${\int }_{-a}^a{\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})dx={\displaystyle \frac{b}{2}}{[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3a^2}}]}_{-a}^a={\displaystyle \frac{2ab}{3}}$$である。よって求める面積は $$S=ab-{\displaystyle \frac{2ab}{3}}={\displaystyle \frac{ab}{3}}$$ である。

直線族 $l(t)$ を点 $(x,y)$ に関する $t$ の2次方程式と見て、判別式から包絡線と通過領域を同時に求める。

(1)
内分公式から$$P=(-a(1-t),bt),Q=(at,b(1-t))$$であり、$$R=(1-t)P+tQ=(a(2t-1),2bt(1-t))\mathrm{.}$$したがって $t=(1+x\mathrm{/}a)\mathrm{/}2$ を消去すると$$y={\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}),-a\leqq x\leqq a\mathrm{.}$$(2)
$P,Q$ を通る直線は$$l(t):y={\displaystyle \frac{b(1-2t)}{a}}x+b(1-2t+2t^2)\mathrm{.}$$これを $t$ について整理すると$$2b{t}^2-2b(1+{\displaystyle \frac{x}{a}})t+b(1+{\displaystyle \frac{x}{a}})-y=0.$$重解をもつ条件、すなわち判別式が0となる条件は$$y={\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})$$である。その重解は $t=(1+x\mathrm{/}a)\mathrm{/}2$ だから、接点はちょうど $R(t)$ である。

(3)
ある $t\in [0,1]$ に対して上の2次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であり、$$y\geqq {\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})$$となる。三角形 $ABC$ の内部に制限すれば、求める領域は放物線の上側の2つの部分である。
したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =ab-{\int }_{-a}^a{\displaystyle \frac{b}{2}}(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =ab-{\displaystyle \frac{2ab}{3}}={\displaystyle \frac{ab}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$