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東北大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

θの関数f(θ)=(1−cos⁡θ+1−sin⁡θ)2を考える．

(1) x=cos⁡θ+sin⁡θとおくとき，f(θ)をxを用いて表せ．
(2) f(θ)の最大値，最小値を求めよ．

難易度5/ 10計算量4/ 10目安16分

三角関数、関数　置換、範囲評価、絶対値の処理

方針

x=cos⁡θ+sin⁡θ と置き、(1−cos⁡θ)(1−sin⁡θ)) を x だけで表す。x2=1+2sin⁡θcos⁡θ を使うと平方根の中身が (x−1)2/2 になり、絶対値を含む1変数関数に変わる。あとは −2≦x≦2 で、x≦1 と x≧1 に分けて最大・最小を読む。

解答

(1) x=cos⁡θ+sin⁡θ とおく。まずf(θ)=2−(cos⁡θ+sin⁡θ)+2(1−cos⁡θ)(1−sin⁡θ)である。したがって f(θ)=2−x+2(1−cos⁡θ)(1−sin⁡θ) である。

また x2=(cos⁡θ+sin⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ より sin⁡θcos⁡θ=x2−12 である。よって(1−cos⁡θ)(1−sin⁡θ)=1−(cos⁡θ+sin⁡θ)+sin⁡θcos⁡θ=1−x+x2−12=(x−1)22である。したがって f(θ)=2−x+2∣x−1∣ である。

(2) x=cos⁡θ+sin⁡θ の範囲は −2≦x≦2 である。x≦1 では f=2−x+2(1−x)=2+2−(1+2)x であるから、x が大きくなるほど小さくなる。したがってこの範囲での最大値は x=−2 のとき 2+2+(1+2)2=4+22 であり、最小値は x=1 のとき 1 である。 x≧1 では f=2−x+2(x−1)=2−2+(2−1)x である。これは x が大きくなるほど大きくなるので、この範囲での最小値はやはり x=1 のとき 1 である。最大値は x=2 のとき 2−2+(2−1)2=4−22 であり、先ほどの 4+22 より小さい。

よって 最大値 4+22,最小値 1 である。

別解

解法2

方針

平方根の積を完全平方へ直してxだけの折れ線関数にする。二つの区間の端点値をすべて比較し、実現するθも確認する。

解答

(1) x=cos⁡θ+sin⁡θと置くとsin⁡θcos⁡θ=x2−12.よって(1−cos⁡θ)(1−sin⁡θ)=1−x+x2−12=(x−1)22.したがってf=2−x+2∣x−1∣.(2)−2≦x≦2 であり、f={2+2−(1+2)x(x≦1),2−2+(2−1)x(x≧1).前者は減少、後者は増加する。候補値はxf−24+221124−22である。各 x は cos⁡θ+sin⁡θ の値として実現するから最大値 4+22,最小値 1.

総評

難度5、計算量4。目安時間は16分。平方根を別々に扱うと見通しが悪いが、cos⁡θ+sin⁡θ にまとめると根号の中身が完全平方になる。絶対値 ∣x−1∣ の分岐を忘れないこと、x の範囲が [−2,2] であること、x=1 が実際に取れることを確認すれば、最大・最小は一次式の端点比較で終わる。

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出典: 東北大学 1998年度 後期 理系 第5問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。