東北大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
座標の面積公式より$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \mid \begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\mid \mid$$である。この行列式は $(b-a)(c-a)(c-b)$ に等しい。$a<b<c$より各差は正なので $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)(c-b)(c-a)$$ である。

(2) $u=b-a,v=c-b$ とおく。すると$u>0$, $v>0$であり、$c-a=u+v$ である。また$-2\leqq a<c\leqq 1$より $u+v=c-a\leqq 3$ である。

(1) の結果から $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}uv(u+v)$$ である。$w=u+v$を固定すると、$$uv\leqq {\left({\displaystyle \frac{u+v}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{w^2}{4}}$$ であり、等号は$u=v$のときである。したがって $$S\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{w^2}{4}}\cdot w={\displaystyle \frac{w^3}{8}}$$ である。さらに$w\leqq 3$なので $$S\leqq {\displaystyle \frac{27}{8}}$$ である。

等号は$w=3$かつ$u=v={\displaystyle \frac{3}{2}}$のときに成り立つ。これは $$a=-2,b=-{\displaystyle \frac{1}{2}},c=1$$ で実現できる。したがって最大値は ${\displaystyle \frac{27}{8}}$ である。

3点の座標から行列式で面積公式を導く。最大化では端点差 $w=c-a$ を固定し、積 $(b-a)(c-b)$ が $b$ を中点にしたとき最大になることを使う。

(1)

$P=(a,a^2)$、$Q=(b,b^2)$、$R=(c,c^2)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2S}& {\displaystyle =\mid \mid \begin{array}{cc}b-a& b^2-a^2\\ c-a& c^2-a^2\end{array}\mid \mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b-a)(c-a)\mid (c+a)-(b+a)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(b-a)(c-b)(c-a)\mathrm{.}}\end{array}$$$a<b<c$ より右辺は正なので$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)(c-b)(c-a)\mathrm{.}$$(2)

$w=c-a$ を固定する。正数$$u=b-a,v=c-b$$は $u+v=w$ を満たすから$$uv\leqq {\left({\displaystyle \frac{w}{2}}\right)}^2,$$等号は $u=v=w\mathrm{/}2$、すなわち $b=(a+c)\mathrm{/}2$ のときである。よって$$S\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{w^2}{4}}\cdot w={\displaystyle \frac{w^3}{8}}\mathrm{.}$$$-2\leqq a<c\leqq 1$ から $w\leqq 3$ なので$$S\leqq {\displaystyle \frac{27}{8}}\mathrm{.}$$等号は$$a=-2,b=-{\displaystyle \frac{1}{2}},c=1$$で成立する。