東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

曲線 $y=x^2$ の点 $(a,a^2)$ における接線は $y-a^2=2a(x-a)$ すなわち $y=2ax-a^2$ である。

この接線上で、接点から $x$ 方向に $s$ だけずれた点を考える。問題の線分 $PQ$ では $-1\leqq s\leqq 1$ であり、その点の $x$ 座標は $x=a+s$ である。したがって $a=x-s$ であり、$-1\leqq a\leqq 1$ より $-1\leqq x-s\leqq 1$ が必要である。

この点の $y$ 座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =2a(a+s)-a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2+2as}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-s{)}^2+2(x-s)s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2-s^2}\end{array}$$である。よって求める領域は $$-1\leqq s\leqq 1,-1\leqq x-s\leqq 1,y=x^2-s^2$$ で表される。

固定した $x$ に対して、$s$ の範囲は $[-1,1]\cap [x-1,x+1]$ である。この範囲が空でないためには $-2\leqq x\leqq 2$ である。 $-2\leqq x\leqq -1$ では $-1\leqq s\leqq x+1$ である。この範囲では $s$ は0以下なので、$y=x^2-s^2$ は $s=x+1$ で最大、$s=-1$ で最小となる。したがって上下の差は $$\{x^2-(x+1{)}^2\}-\{x^2-1\}=1-(x+1{)}^2$$ である。 $-1\leqq x\leqq 1$ では、$s$ の範囲が0を含み、端点のうち絶対値1も含むので、上下の差は $x^2-(x^2-1)=1$ である。 $1\leqq x\leqq 2$ では $x-1\leqq s\leqq 1$ であり、同様に上下の差は $1-(x-1{)}^2$ である。

よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_{-2}^{-1}\{1-(x+1{)}^2\}dx+{\int }_{-1}^{1}1dx+{\int }_1^2\{1-(x-1{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}+2+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$

接線を接点の横座標 $a$ で表す。固定した $x$ に対して許される $a$ の区間上で、下に凸な2次式の最大・最小を求める。

接線は$$y=2ax-a^2$$である。線分条件は $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }\leqq 1$、また $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 1$ だから、固定した $x$ に対して$$\max (-1,x-1)\leqq a\leqq \min (1,x+1)\mathrm{.}$$$2ax-a^2=x^2-(a-x{)}^2$ を用いる。

$-2\leqq x\leqq -1$ では上下の差は$$1-(x+1{)}^2,$$$-1\leqq x\leqq 1$ では1、$1\leqq x\leqq 2$ では$$1-(x-1{)}^2$$である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_{-2}^{-1}\{1-(x+1{)}^2\}dx+{\int }_{-1}^{1}1dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^2\{1-(x-1{)}^2\}dx={\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$