東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
円の中心を $C=(a,b)$ とし、点 $P=(p,q)$ と中心との距離を $$D=\sqrt{(p-a{)}^2+(q-b{)}^2}$$ とおく。点 $P$ が円の外部にあるとき、円周までの最短距離は中心方向に進んだときに得られるので $d=D-r$ である。点 $P$ が円の内部にあるときは、円周まで出る距離が $d=r-D$ である。したがって、一般に $d=\mathrm{\mid }D-r\mathrm{\mid }$ と表せる。

(2)
2つの円の中心を $(-4,0)$, $(4,0)$ とし、点 $(x,y)$ からそれぞれの中心までの距離を $$D_1=\sqrt{(x+4{)}^2+y^2},D_2=\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$$ とおく。(1)より、2つの円からの距離が等しい条件は $\mathrm{\mid }{D}_1-9\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{D}_2-7\mathrm{\mid }$ である。絶対値を外すと $D_1-9=D_2-7$ または $D_1-9=-(D_2-7)$ であるから、$$D_1-D_2=2\text{または}{D}_1+D_2=16$$ となる。 $D_1+D_2=16$ は、焦点 $(-4,0),(4,0)$ をもつ楕円である。長半径は $8$、焦点距離は $4$ なので、短半径の2乗は $8^2-4^2=48$ である。よって $${\displaystyle \frac{x^2}{64}}+{\displaystyle \frac{y^2}{48}}=1$$ を得る。 $D_1-D_2=2$ は、同じ焦点をもつ双曲線である。距離の差が $2$ なので $2A=2$、すなわち $A=1$ であり、焦点距離 $4$ から $B^2=4^2-1^2=15$ である。したがって標準形は $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{15}}=1$$ である。さらに $D_1-D_2=2>0$ だから、点は右側の焦点 $(4,0)$ に近い枝にあり、$x\geqq 1$ である。

以上より、求める軌跡は $${\displaystyle \frac{x^2}{64}}+{\displaystyle \frac{y^2}{48}}=1$$ および $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{15}}=1(x\geqq 1)$$ である。

(1) は三角不等式とその等号条件で最短距離を証明する。(2)は中心までの距離をD1,D2とし、絶対値方程式を和一定・差一定へ分ける。

(1)

円の中心を $M=(a,b)$、$MP=D$ とする。円上の任意の点 $X$ について三角不等式から$$PX\geqq \mathrm{\mid }PM-MX\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }D-r\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$直線 $PM$ と円の交点のうち $P$ に近い方を取れば等号が成り立つ。したがって$$d=\{\begin{array}{ll}D-r& (P\text{が外部}),\\ r-D& (P\text{が内部})\end{array}$$である。

(2) $$D_1=\sqrt{(x+4{)}^2+y^2},D_2=\sqrt{(x-4{)}^2+y^2}$$とすると$$\mathrm{\mid }{D}_1-9\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{D}_2-7\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$よって$$D_1+D_2=16\text{または}{D}_1-D_2=2.$$前者は焦点 $(\pm 4,0)$、長半径8の楕円なので$${\displaystyle \frac{x^2}{64}}+{\displaystyle \frac{y^2}{48}}=1.$$後者は実半径1、焦点距離4の双曲線の右枝なので$$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{15}}=1,x\geqq 1.$$どちらも元の絶対値方程式へ戻して成立するため、求める軌跡はこの和集合である。