東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$x<1$ では $F_{-}(x)=x^2-ax+a+b$ を、$x\geqq 1$ では $F_{+}(x)=x^2+ax+b-a$ を調べればよい。どちらも $x=1$ での値は $F_{-}(1)=F_{+}(1)=1+b$ である。ただし左側は $x<1$ なので $x=1$ を含まず、右側は $x\geqq 1$ なので $x=1$ を含む。

左側の放物線 $F_{-}$ の頂点は $x=a\mathrm{/}2$、最小値は$$F_{-}\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)=a+b-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}=b-({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a)$$である。右側の放物線 $F_{+}$ の頂点は $x=-a\mathrm{/}2$、最小値は$$F_{+}(-{\displaystyle \frac{a}{2}})=b-a-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}=b-({\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a)$$である。

まず $-2<a<2$ のとき、2つの頂点はそれぞれ担当区間の内側または端点側に位置し、左側は $b<a^2\mathrm{/}4-a$ のときに根を持つ。さらに $b<-1$ なら左側に1個、右側に1個、$-1<b<a^2\mathrm{/}4-a$ なら左側に2個、右側に0個となる。したがって、この範囲ではまとめて $$b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a$$ が条件である。 $a=-2$ のときは $a^2\mathrm{/}4-a=3$ である。$-1<b<3$ では左側に2個、$b\leqq -1$ では左側と右側に1個ずつ根を持つ。$b=3$ では左側の頂点で接する1個だけになるので、条件は $b<3$ である。 $a<-2$ のとき、左側で2個の根を持つには $${\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a<b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a$$ が必要で、このとき右側には根がない。また $b<-1$ では左側に1個、右側に1個の根を持つ。$b=-1$ では $x=1$ が右側の根として数えられるため個数が変わり、ちょうど2個にはならない。よって $$b<-1\text{または}{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a<b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a$$ である。 $a\geqq 2$ のとき、左側は単調に下がりながら $x=1$ に近づき、右側は $x=1$ から単調に上がる。したがって $b<-1$ のときだけ左側に1個、右側に1個の根を持つ。$b=-1$ では右側の端点 $x=1$ の1個だけなので除く。

以上より、異なる実数解がちょうど2個となる条件は$$\{\begin{array}{ll}-2<a<2,& b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a,\\ a=-2,& b<3,\\ a<-2,& b<-1\text{ または }{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a<b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a,\\ a\geqq 2,& b<-1.\end{array}$$である。

方程式を $b={\varphi }_a(x)$ という水平線との交点問題に直す。$x=1$ の左右にある2本の下向き放物線について、端点値と頂点値を比較し、交点数の表から2個となる範囲を読む。

方程式を$$b=-x^2-a\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=:{\varphi }_a(x)$$と書く。$x<1$ と $x\geqq 1$ では$${\varphi }_a(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+ax-a& (x<1),\\ -x^2-ax+a& (x\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$どちらも $x=1$ で $-1$ となるが、左側は端点を含まず、右側は含む。

左枝の頂点は $x=a\mathrm{/}2$、高さは$$M_{-}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a,$$右枝の頂点は $x=-a\mathrm{/}2$、高さは$$M_{+}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a\mathrm{.}$$担当区間に頂点が入るかを合わせると、水平線 $y=b$ との交点数は次の条件でちょうど2個になる。$$\begin{array}{cc}a\text{の範囲}& b\text{の条件}\\ a<-2& b<-1\text{ または }{M}_{+}<b<M_{-}\\ a=-2& b<3\\ -2<a<2& b<M_{-}\\ a\geqq 2& b<-1\end{array}$$したがって$$\{\begin{array}{ll}a<-2:& b<-1\text{ または }{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+a<b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a,\\ a=-2:& b<3,\\ -2<a<2:& b<{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-a,\\ a\geqq 2:& b<-1.\end{array}$$境界 $b=-1$ と頂点高では重根または端点根により個数が変わるため、表の等号条件が必要である。