東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)
円錐の軸は線分 $OA$ である。ここで $A=(0,3\sqrt{2},3\sqrt{2})$ だから $$OA=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=6$$ であり、軸方向の単位ベクトルは $$\vec{e}=(0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$ である。

点 $P(a,b,c)$ の軸方向の長さは $$\overrightarrow{OP}\cdot \vec{e}={\displaystyle \frac{b+c}{\sqrt{2}}}$$ である。円錐は高さ6で底面の半径が2なので、側面上では、軸からの距離は軸方向の長さの $${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。したがって、$P$ から線分 $OA$ に下ろした垂線の長さは ${\displaystyle \frac{b+c}{3\sqrt{2}}}$ である。

(2)
平面 $z=c$ 上の点を $(x,y,c)$ とする。ただしここでの $c$ は問題文の定数で、$0<c\leqq 2$ である。

この点の軸方向の長さは ${\displaystyle \frac{y+c}{\sqrt{2}}}$ である。また、点 $(x,y,c)$ から軸 $OA$ までの距離の2乗は、全体の長さの2乗から軸方向成分の2乗を引けばよいので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+y^2+c^2-{\left({\displaystyle \frac{y+c}{\sqrt{2}}}\right)}^2}& {\displaystyle =x^2+y^2+c^2-{\displaystyle \frac{(y+c{)}^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+{\displaystyle \frac{(y-c{)}^2}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$円錐の内部または表面にあるためには、軸からの距離が、軸方向の長さの $1\mathrm{/}3$ 以下であればよい。したがって$$x^2+{\displaystyle \frac{(y-c{)}^2}{2}}\leqq {({\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{y+c}{\sqrt{2}}})}^2={\displaystyle \frac{(y+c{)}^2}{18}}$$である。

これを整理する。両辺に18を掛けると $$18x^2+9(y-c{)}^2\leqq (y+c{)}^2$$ である。展開して $$18x^2+9y^2-18cy+9c^2\leqq y^2+2cy+c^2$$ となるので $18x^2+8y^2-20cy+8c^2\leqq 0$ である。これが、$(x,y,c)$ が円錐 $C$ の表面または内部にあることを表す不等式である。

軸方向とそれに垂直な方向へ45度座標回転する。円錐は新座標で標準形になり、断面条件も直ちに出る。

$$u={\displaystyle \frac{y+z}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{y-z}{\sqrt{2}}}$$と置く。$u$ 軸は円錐の軸 $OA$ である。高さ6、底面半径2なので、円錐は$$x^2+v^2\leqq {\displaystyle \frac{u^2}{9}},0\leqq u\leqq 6$$と表される。

(1)

側面上では軸からの距離は $u\mathrm{/}3$ である。$P=(a,b,c)$ なら$$u={\displaystyle \frac{b+c}{\sqrt{2}}}$$だから、求める垂線の長さは$${\displaystyle \frac{b+c}{3\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$(2)

$z=c$ とすると$$u={\displaystyle \frac{y+c}{\sqrt{2}}},v={\displaystyle \frac{y-c}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$標準形へ代入して$$x^2+{\displaystyle \frac{(y-c{)}^2}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{(y+c{)}^2}{18}}\mathrm{.}$$整理すると$$18x^2+8y^2-20cy+8c^2\leqq 0.$$$0<c\leqq 2$ のもとでは、この不等式から軸方向の範囲も自動的に満たされる。