東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
2次正方行列$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$について、直接計算により $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O$ が成り立つ。これに $A$ を掛けると $A^3=(a+d)A^2-(ad-bc)A$ であり、さらに $A^2=(a+d)A-(ad-bc)I$ を代入して $$A^3=((a+d{)}^2-(ad-bc))A-(a+d)(ad-bc)I$$ となる。

ここで $\lambda =(a+d{)}^2-(ad-bc)$ とおく。もし $\lambda =0$ なら、上式より $A^3$ は単位行列の実数倍になり、右上成分は0になる。しかし問題では$$A^3=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right),q\mathrm{\ne }0$$なので、これは不可能である。したがって $\lambda \mathrm{\ne }0$ である。

上式から $$A={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\{A^3+(a+d)(ad-bc)I\}$$ である。右辺は$$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right)$$と単位行列の一次結合だから、対角成分が等しく、左下成分が右上成分の符号反対である形を保つ。したがって $a=d,b=-c$ である。

(2)
行列$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$$を複素数 $a-bi$ に対応させる。この対応では、行列の積は複素数の積に対応する。したがって条件は $(a-bi{)}^3=2-2i$ と同値である。

右辺を極形式で表すと $$2-2i=2\sqrt{2}(\cos (-{45}^{\circ })+i\sin (-{45}^{\circ }))$$ である。よって3乗根は$$a-bi=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{-{45}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{-{45}^{\circ }+{360}^{\circ }k}{3}})$$で、$k=0,1,2$ である。

それぞれの角は $-{15}^{\circ },{105}^{\circ },{225}^{\circ }$ である。$$a-bi=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$ だから $$a=\rho \cos \theta ,b=-\rho \sin \theta$$ である。したがって $$(a,b)=({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}),$$ $$(a,b)=({\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}),$$ $(a,b)=(-1,1)$ を得る。

よって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}& {\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$である。

(1) は $A$ と $A^3$ が可換であることだけを使う。(2)は対応する複素数の3乗根を列挙する。

(1) $$J=A^3=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right)$$とおく。$A$ は自分の3乗と可換だから $AJ=JA$ である。両辺の左上成分を比較すると$$ap-bq=pa+qc\mathrm{.}$$$q\mathrm{\ne }0$ より $b=-c$。右上成分を比較すると$$aq+bp=pb+qd$$なので $a=d$ である。

(2) $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)⟷a-bi$$と対応させる。条件は$$(a-bi{)}^3=2-2i=2\sqrt{2}(\cos (-{45}^{\circ })+i\sin (-{45}^{\circ }))\mathrm{.}$$絶対値は $\sqrt{2}$、偏角は$$-{15}^{\circ },{105}^{\circ },{225}^{\circ }\mathrm{.}$$よって$$(a,b)=({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}),({\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}),(-1,1)\mathrm{.}$$これらを $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ に代入した3行列がすべてである。