東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

原点を通る直線を $(x,y,z)=t(a,b,c)$ と表す。ただし $$a^2+b^2+c^2=1,c\geqq 0$$ である。

まず球面 $S_1$ について考える。中心 $(10,0,0)$ から直線への距離を求める。方向ベクトルが単位ベクトルなので、中心ベクトル $(10,0,0)$ の直線方向への射影の長さは $$(10,0,0)\cdot (a,b,c)=10a$$ である。したがって、中心から直線までの距離の2乗は ${10}^2-(10a{)}^2=100(1-a^2)$ である。直線が半径9の球面 $S_1$ に接するためには、この距離が9に等しいから $100(1-a^2)=81$ であり、$$a^2={\displaystyle \frac{19}{100}}$$ を得る。

同様に、球面 $S_2$ の中心 $(0,10,0)$ から直線方向への射影の長さは $10b$ である。したがって中心から直線までの距離の2乗は $100(1-b^2)$ である。半径が8なので $100(1-b^2)=64$ より $$b^2={\displaystyle \frac{36}{100}}={\displaystyle \frac{9}{25}}$$ である。

以上と単位ベクトル条件から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle c^2}& {\displaystyle =1-a^2-b^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{19}{100}}-{\displaystyle \frac{36}{100}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{45}{100}}={\displaystyle \frac{9}{20}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $c\geqq 0$ より $$c={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{10}}$$ である。$a$ と $b$ の符号は距離条件では決まらず、互いに独立に選べる。したがって求める方向ベクトルは$$(a,b,c)=(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}},\pm {\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{10}})$$である。ただし、2つの符号は独立に選ぶ。

原点・球の中心・接点が作る直角三角形から、方向ベクトルの各軸成分の絶対値を求める。

原点から球面 $S_1$ への接点を $T_1$ とする。中心を $E_1=(10,0,0)$ とすれば$$O{E}_1=10,E_1{T}_1=9$$で、三角形 $O{E}_1{T}_1$ は $T_1$ で直角である。直線方向と $x$ 軸のなす角を ${\varphi }_1$ とすると$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\cos {\varphi }_1={\displaystyle \frac{\sqrt{{10}^2-9^2}}{10}}={\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}}\mathrm{.}$$同様に $S_2$ では中心までの距離10、半径8なので$$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{{10}^2-8^2}}{10}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$単位ベクトル条件より$$c^2=1-{\displaystyle \frac{19}{100}}-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{45}{100}}\mathrm{.}$$$c\geqq 0$ だから$$c={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{10}}\mathrm{.}$$したがって$$(a,b,c)=(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{19}}{10}},\pm {\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{10}}),$$ただし2つの符号は独立である。