東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
まず微分する。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =x\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{2}}+x+(x-1)-2x\log x-x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}+x-1.}\end{array}$$さらに微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}+x({\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}-{\displaystyle \frac{2}{x}})+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}+{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$u={\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}>0$$ とおくと $${\displaystyle \frac{1}{u}}={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2+1}}$$ であるから $$-1+{\displaystyle \frac{1}{u}}={\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\log u-1+{\displaystyle \frac{1}{u}}$$ となる。

関数 $$g(u)=\log u-1+{\displaystyle \frac{1}{u}}(u>0)$$ を考えると $$g^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}={\displaystyle \frac{u-1}{u^2}}$$ である。よって $g(u)$ は $0<u<1$ で減少し、$u>1$ で増加する。さらに $g(1)=0$ だから、すべての $u>0$ で $g(u)\geqq 0$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0(x>0)$ であり、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調増加である。

(2)
直接代入すると $f(1)=0$ であり、また $f^{\mathrm{\prime }}(1)=1\cdot \log 1+1-1=0$ である。(1)より $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調増加であるから $$0<x<1\text{では}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0,$$ $$x>1\text{では}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$$ である。したがって $f(x)$ は $x=1$ で最小値をとり、その最小値は0である。よって $f(x)\geqq 0$ であり、等号成立は $x=1$ のときである。

(3)
正の実数 $p,q$ に対して、(2)を $$x={\displaystyle \frac{p}{q}}$$ に適用する。すると$${\displaystyle \frac{(p\mathrm{/}q{)}^2+1}{2}}\log {\displaystyle \frac{(p\mathrm{/}q{)}^2+1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{({\displaystyle \frac{p}{q}}-1)}^2-{\left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)}^2\log {\displaystyle \frac{p}{q}}\geqq 0$$である。両辺に $q^2$ を掛けると$${\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2q^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(p-q{)}^2-p^2\log {\displaystyle \frac{p}{q}}\geqq 0$$となる。

ここで $$\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2q^2}}=\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}-\log q^2$$ かつ $$p^2\log {\displaystyle \frac{p}{q}}={\displaystyle \frac{p^2}{2}}\log p^2-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}\log q^2$$ である。これらを代入して整理すると、$\log q^2$ の係数は $$-{\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}+{\displaystyle \frac{p^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{q^2}{2}}$$ となるので$${\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(p-q{)}^2-{\displaystyle \frac{p^2}{2}}\log p^2-{\displaystyle \frac{q^2}{2}}\log q^2\geqq 0$$である。移項して$${\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}(p-q{)}^2+{\displaystyle \frac{p^2\log p^2+q^2\log q^2}{2}}$$を得る。これが示すべき不等式である。

二階導関数に現れる対数不等式を独立に示して凸性を得る。(3)は同次化として(2)を比 $p\mathrm{/}q$ に適用する。

(1)

微分すると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\log {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}+{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}}\mathrm{.}$$$$u={\displaystyle \frac{x^2+1}{2x^2}}>0$$と置けば$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\log u-1+{\displaystyle \frac{1}{u}}\mathrm{.}$$$\varphi (u)=\log u-1+1\mathrm{/}u$ は$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{u-1}{u^2}}$$であり、$u=1$ で最小値0をとる。よって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$、したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調増加する。

(2) $$f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)=0.$$$f^{\mathrm{\prime }}$ の単調性より、$x<1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$、$x>1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。よって$$f(x)\geqq 0$$であり、等号は $x=1$ のときに限る。

(3)

(2) に $x=p\mathrm{/}q$ を代入し、両辺に $q^2$ を掛ける。対数を$$\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2q^2}}=\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}-\log q^2$$と分けて整理すれば$${\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\log {\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}(p-q{)}^2+{\displaystyle \frac{p^2\log p^2+q^2\log q^2}{2}}\mathrm{.}$$