東北大学 2000年度 前期日程文系数学 第3問

符号が変わる点は、小さい順に$$-1,{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1,{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$である。これらで実数軸を分けて絶対値を外す。 $x<-1$ では $$x^2-3x+1>0,x^2-1>0,2x-1<0$$ だから、不等式は $$x^2-3x+1>(x^2-1)-(-(2x-1))=x^2+2x-2$$ となる。したがって $3-5x>0$、すなわち $x<3\mathrm{/}5$ であり、この区間ではすべて成り立つ。 $$-1\leqq x<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$ では $$x^2-3x+1>0,x^2-1<0,2x-1<0$$ なので $$x^2-3x+1>-(x^2-1)+(2x-1)$$ すなわち $2x^2-5x+1>0$ である。よって $$x<{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}\text{または}x>{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$ であり、この区間との共通部分は $$-1\leqq x<{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}$$ である。 $${\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ では整理すると $x-1>0$ となるので解はない。${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<1$ では整理すると $5x-3>0$ となるから ${\displaystyle \frac{3}{5}}<x<1$ を得る。 $$1\leqq x<{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ では $$-(x^2-3x+1)>(x^2-1)-(2x-1)$$ より $-2x^2+5x-1>0$ である。したがって $${\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}<x<{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$ であり、この区間との共通部分は $$1\leqq x<{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$ である。最後に $$x\geqq {\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$ では整理すると $1-x>0$ となり解はない。

以上を合わせて$$x<{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}}\text{または}{\displaystyle \frac{3}{5}}<x<{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$である。したがって求める範囲は$$(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}})\cup ({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}})$$である。

絶対値の符号変化点で実数軸を分け、各区間で得られる条件だけを表に集約する。端点では元の厳密不等式へ戻って採否を決める。

符号変化点を小さい順に並べると$$-1<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<1<{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$各区間で絶対値を外した結果をまとめると$$\begin{array}{cc}\text{区間}& \text{元の不等式と同値な条件}\\ x<-1& x<{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ -1\leqq x<{\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}& 2x^2-5x+1>0\\ {\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}& x>1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<1& x>{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ 1\leqq x<{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}& -2x^2+5x-1>0\\ {\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\leqq x& x<1\end{array}$$となる。2つの2次式の零点は共通に$${\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}},{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$である。表の区間条件との共通部分を取ると、前半は$$x<{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}},$$後半は$${\displaystyle \frac{3}{5}}<x<{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}}$$となる。元の不等式は厳密不等式なので零点は含まない。よって解は$$(-\mathrm{\infty },{\displaystyle \frac{5-\sqrt{17}}{4}})\cup ({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{5+\sqrt{17}}{4}})\mathrm{.}$$