東北大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第6問

(1)

極座標 $$x=r\cos \theta ,x^2+y^2=r^2$$ を用いる。方程式 $$a^2(x^2+y^2)=(x^2+y^2-x{)}^2$$ に代入すると $$a^2{r}^2=(r^2-r\cos \theta {)}^2=r^2(r-\cos \theta {)}^2$$ である。

したがって $r=0$ または $a^2=(r-\cos \theta {)}^2$ である。よって極方程式は $$r=0\text{または}r=\cos \theta \pm a$$ である。

(2) $x$ 軸との交点を求めるため $y=0$ とおく。すると $$a^2{x}^2=(x^2-x{)}^2=x^2(x-1{)}^2$$ である。よって $x=0$ または $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=a$ である。したがって $x$ 軸との交点は $(0,0),(1-a,0),(1+a,0)$ である。

次に $y$ 軸との交点を求める。$x=0$ とすると $a^2{y}^2=y^4$ である。よって $y=0,y=\pm a$ となる。したがって $y$ 軸との交点は $(0,0),(0,a),(0,-a)$ である。

曲線は方程式に $y$ が2乗でしか現れないので $x$ 軸対称である。また $0<a<1$ なので、右側に $(1-a,0)$ と $(1+a,0)$ を通る大きなふくらみをもち、原点を通って上下に $(0,\pm a)$ を通る部分をもつ。これらの交点を目印に、$x$ 軸対称な概形を描けばよい。

(3) $a=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ とする。まず $x$ 座標を調べる。 $r=\cos \theta +a$ とおき、$u=\cos \theta$ とすると $$x=r\cos \theta =(u+a)u=u^2+au$$ である。この枝では $r\geqq 0$ より $u\geqq -a$ である。したがって $-a\leqq u\leqq 1$ で $x=u^2+au$ の最大・最小を調べる。最大は $u=1$ で $$x_{\max }=1+a=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ であり、最小は $u=-a\mathrm{/}2$ で $$x_{\min }=-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{12}}$$ である。

もう一方の枝 $r=\cos \theta -a$ では $r\geqq 0$ より $u\geqq a$ で、$x=(u-a)u=u^2-au$ である。この範囲では $x=u^2-au$ は単調増加し、$0\leqq x\leqq 1-1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。したがって上の最大・最小を超えない。したがって $$x_{\max }=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},x_{\min }=-{\displaystyle \frac{1}{12}}$$ である。

次に $y$ 座標を調べる。曲線は $x$ 軸対称なので、最大値を求めれば最小値はその反対である。 $r=\cos \theta +a$ の枝で $y=(u+a)\sin \theta$ だから $y^2=(u+a{)}^2(1-u^2)$ である。これを微分すると、内部の極値は $1-2u^2-au=0$ で与えられる。$a=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ を代入すると $u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ が有効な解である。このとき $$y^2={\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\right)}^2(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{8}{9}}$$ である。

もう一方の枝では $y^2=(u-a{)}^2(1-u^2)$ であり、停留点 $u=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ での最大値は $1\mathrm{/}48$ である。端点では0なので、これは $8\mathrm{/}9$ を超えない。よって $$y_{\max }={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},y_{\min }=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ である。

極方程式を得た後、$u=\cos \theta$ と置く。
各枝で半径が非負となる範囲を明示し、
$x$ は2次式、$y^2$ は4次式として最大最小を調べる。

(1) $$x=r\cos \theta ,x^2+y^2=r^2$$ を代入すると$$a^2{r}^2=r^2(r-\cos \theta {)}^2\mathrm{.}$$よって$$r=0\text{または}r=\cos \theta \pm a\mathrm{.}$$(2)

$y=0$ を元の式へ代入すると$$x^2\{a^2-(x-1{)}^2\}=0,$$したがって$$(0,0),(1-a,0),(1+a,0)\mathrm{.}$$$x=0$ なら $y^2(a^2-y^2)=0$ なので$$(0,0),(0,a),(0,-a)\mathrm{.}$$曲線は $x$ 軸対称で、これらの点を通る2つの極方程式の枝を描けばよい。

(3)

$a=1\mathrm{/}\sqrt{3}$、$u=\cos \theta$ とする。
$r=u+a$ の枝では $-a\leqq u\leqq 1$ で$$x=u(u+a)\mathrm{.}$$この2次式から$$x_{\max }=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},x_{\min }=-{\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}$$もう一方の枝 $r=u-a$（$a\leqq u\leqq 1$）はこの範囲を広げない。
実際、そこで $x=u^2-au$ は単調増加し、$$0\leqq x\leqq 1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$また$$y^2=(u+a{)}^2(1-u^2)\mathrm{.}$$微分すると内部の停留条件は$$(u+a)(1-2u^2-au)=0.$$有効な点 $u=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ で$$y^2={\displaystyle \frac{8}{9}}\mathrm{.}$$端点では $y=0$ である。もう一方の枝では$$y^2=(u-a{)}^2(1-u^2),a\leqq u\leqq 1,$$その内部の停留点 $u=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ で最大値 $1\mathrm{/}48$ をとる。
したがって全体の最大値は $8\mathrm{/}9$ であり、$x$ 軸対称性から$$y_{\max }={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}},y_{\min }=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$