東北大学 2000年度 後期日程文系（後期）数学 第3問

(1)
背理法で示す。$a,b$ がともに奇数であると仮定する。奇数の平方は $4$ で割ると $1$ 余るので $a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),b^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。したがって $$c^2=a^2-3b^2\equiv 1-3\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ となる。しかし平方数を $4$ で割った余りは $0$ または $1$ であり、$2$ にはならない。矛盾である。よって $a,b$ の少なくとも一方は偶数である。

(2) $a,b$ がともに偶数であるとする。もし少なくとも一方が4の倍数でないという結論を否定して、$a,b$ のどちらも4の倍数でないと仮定する。このとき $a=2a_1,b=2b_1$ と書くと、$a_1,b_1$ はともに奇数である。また $a^2-3b^2=c^2$ の左辺は $4$ の倍数なので、$c$ も偶数である。$c=2c_1$ とおいて両辺を $4$ で割ると $a_1^2-3b_1^2=c_1^2$ となる。ところが $a_1,b_1$ はともに奇数なので、(1)で示した議論と同じく左辺は $4$ で割って $2$ 余り、平方数になれない。矛盾である。したがって $a,b$ がともに偶数なら、少なくとも一方は4の倍数である。

(3) $a$ が奇数であるとする。(1)より $b$ は偶数である。ここで $b$ が4の倍数でないと仮定すると、$b=2b_1$ かつ $b_1$ は奇数である。したがって $b^2=4b_1^2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ である。一方、奇数の平方は $8$ で割ると $1$ 余るので $a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ である。よって $$c^2=a^2-3b^2\equiv 1-3\cdot 4\equiv 1-12\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$ となる。しかし平方数を $8$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかであり、$5$ にはならない。矛盾である。したがって $b$ は4の倍数である。

平方数の4および8を法とする剰余だけで、各主張を順に示す。前の結論を次の仮定へ組み込む。

(1)
$a,b$ がともに奇数なら$$a^2-3b^2\equiv 1-3\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$しかし平方数は4を法として0または1なので、$c^2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ は不可能である。
よって $a,b$ の少なくとも一方は偶数である。

(2)
$a,b$ がともに偶数で、しかもどちらも4の倍数でないと仮定する。$$a=2a_1,b=2b_1$$と書けば $a_1,b_1$ はともに奇数である。元の式から $c$ も偶数なので $c=2c_1$ と書け、$$a_1^2-3b_1^2=c_1^2\mathrm{.}$$これは(1)と同じく4を法として矛盾する。したがって少なくとも一方は4の倍数である。

(3)
$a$ が奇数なら(1)より $b$ は偶数である。$b$ が4の倍数でないなら$$b^2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)\mathrm{.}$$一方、奇数 $a$ について $a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ だから$$c^2=a^2-3b^2\equiv 1-12\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)\mathrm{.}$$平方数の8を法とする剰余は0,1,4だけなので矛盾する。よって $b$ は4の倍数である。