東北大学 2000年度 前期日程理系数学 第5問

三角形 $OAB$ は $$0\leqq x\leqq t,0\leqq y\leqq 1-{\displaystyle \frac{x}{t}}$$ で表される。正方形は $$0\leqq x\leqq 1-t,0\leqq y\leqq 1-t$$ である。2つの上端 $$y=1-{\displaystyle \frac{x}{t}},y=1-t$$ が交わるのは $$1-{\displaystyle \frac{x}{t}}=1-t$$ より $x=t^2$ である。

1. $0<t\leqq 1\mathrm{/}2$ のとき、$t\leqq 1-t$ なので横幅は $0\leqq x\leqq t$ である。$0\leqq x\leqq t^2$ では正方形の上端が低く、$t^2\leqq x\leqq t$ では三角形の上端が低い。したがって$$S={\int }_0^{t^2}(1-t)dx+{\int }_{t^2}^t(1-{\displaystyle \frac{x}{t}})dx={\displaystyle \frac{t(1-t^2)}{2}}$$である。

2. $$1\mathrm{/}2\leqq t\leqq (\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2$$ のとき、横幅は $0\leqq x\leqq 1-t$ で、さらに $t^2\leqq 1-t$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{t^2}(1-t)dx+{\int }_{t^2}^{1-t}(1-{\displaystyle \frac{x}{t}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{t^4+3t^2-4t+1}{2t}}}\end{array}$$である。

3. $(\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2\leqq t<1$ のとき、$1-t\leqq t^2$ であるから、正方形全体が三角形の下に入る。したがって $S=(1-t{)}^2$ である。

以上より$$S=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{t(1-t^2)}{2}}& (0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ -{\displaystyle \frac{t^4+3t^2-4t+1}{2t}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}),\\ (1-t{)}^2& ({\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\leqq t<1)\end{array}$$である。

最大を調べる。第1区間では $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left\{{\displaystyle \frac{t(1-t^2)}{2}}\right\}={\displaystyle \frac{1-3t^2}{2}}$$ であり、$0<t\leqq 1\mathrm{/}2$ では正なので増加する。第3区間では $(1-t{)}^2$ は減少する。したがって最大の候補は第2区間の内部または端点である。

第2区間で $$S=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}t+2-{\displaystyle \frac{1}{2t}}$$ だから $$S^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}$$ である。$S^{\mathrm{\prime }}=0$ より $3t^4+3t^2-1=0$ となる。$u=t^2$ とおくと $3u^2+3u-1=0$ なので、$u>0$ より $$t^2={\displaystyle \frac{\sqrt{21}-3}{6}}$$ である。よって $$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{21}-3}{6}}}$$ のとき最大となる。この値は実際に $$1\mathrm{/}2\leqq t\leqq (\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2$$ に入る。

共通部分を、三角形または正方形から上にはみ出す小三角形を引く図形計算で求める。境界 $t=1\mathrm{/}2$ と $t^2=1-t$ で場合分けする。

三角形の斜辺は$$y=1-{\displaystyle \frac{x}{t}}$$であり、正方形の上辺 $y=1-t$ との交点は $x=t^2$ である。

(i) $0<t\leqq 1\mathrm{/}2$

三角形は正方形より横に狭い。三角形の面積 $t\mathrm{/}2$ から、上辺より上に出る小三角形を引く。
この小三角形の底辺は $t^2$、高さは $t$ なので$$S={\displaystyle \frac{t}{2}}-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}={\displaystyle \frac{t(1-t^2)}{2}}\mathrm{.}$$(ii) $$1\mathrm{/}2\leqq t\leqq (\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2$$共通部分の横幅は $1-t$ で、斜辺と上辺の交点 $t^2$ はその内部にある。幅 $1-t$ までの
三角形台形から、上辺より上の小三角形を引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\{(1-t)-{\displaystyle \frac{(1-t{)}^2}{2t}}\}-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{t^4+3t^2-4t+1}{2t}}\mathrm{.}}\end{array}$$(iii) $(\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2\leqq t<1$

$1-t\leqq t^2$ なので正方形全体が三角形に含まれ、$$S=(1-t{)}^2\mathrm{.}$$第1区間では $S$ は増加し、第3区間では減少する。第2区間では$$S^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}\mathrm{.}$$したがって$$3t^4+3t^2-1=0$$を満たす$$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{21}-3}{6}}}$$で最大となる。