東北大学 2000年度 前期日程理系数学 第6問

(1) $${\alpha }_n={\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot 2^{n-1}={\displaystyle \frac{2^{n+1}}{5}}$$ である。$2^k$ を $5$ で割った余りは $2,4,3,1$ を周期4で繰り返す。したがって $n=1,2,3,4,5$ に対する ${\alpha }_n$ の小数部分は ${\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。

(2) $${\beta }_n={\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$ である。まず $n=1$ では $$a_1={\alpha }_1+{\beta }_1={\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}=1$$ なので $b_1=0$ である。

次に $n\geqq 2$ を考える。$\mathrm{\mid }{\beta }_n\mathrm{\mid }\leqq 1\mathrm{/}10$ であり、${\alpha }_n$ の小数部分は $1\mathrm{/}5,2\mathrm{/}5,3\mathrm{/}5,4\mathrm{/}5$ のいずれかである。負の ${\beta }_n$ を足しても $0$ 未満にならず、正の ${\beta }_n$ を足しても $1$ 以上にならない。したがって $n\geqq 2$ では $$b_n=\left\{{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{5}}\right\}+{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$ である。ただし $\{\}$ は小数部分を表す。

(3) ${\alpha }_n$ の小数部分は4項で $${\displaystyle \frac{4}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}=2$$ となる。100項は25周期なので、${\alpha }_n$ の小数部分の和は $25\cdot 2=50$ である。

しかし $b_1$ では ${\alpha }_1$ の小数部分 $4\mathrm{/}5$ と ${\beta }_1=1\mathrm{/}5$ が合わさって整数 $1$ になり、小数部分は $0$ である。したがって$$\sum _{n=1}^{100}{b}_n=50-{\displaystyle \frac{4}{5}}+\sum _{n=2}^{100}{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}$$である。等比数列の和より$$\sum _{n=2}^{100}{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{99}\}}{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{99}\}$$である。よってこの和は $50-{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{15}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{99}\}$ であり、これは $49$ より大きく $50$ より小さい。したがって初項から第100項までの和の整数部分は $49$ である。

$a_n$ を1本の式にして、2の冪の5を法とする周期と小さな補正項を4項ずつまとめる。

(1) $${\alpha }_n={\displaystyle \frac{2^{n+1}}{5}}\mathrm{.}$$$2^k$ の5を法とする余りは $2,4,3,1$ の周期4だから、$n=1,2,3,4,5$ の小数部分は$${\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$(2)$$a_n={\displaystyle \frac{2^{n+1}}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}\mathrm{.}$$$n=1$ では $a_1=1$ なので $b_1=0$ である。$n\geqq 2$ では第2項の絶対値は $1\mathrm{/}10$ 以下で、
第1項の小数部分は $1\mathrm{/}5,2\mathrm{/}5,3\mathrm{/}5,4\mathrm{/}5$ のいずれかだから、整数の繰り上がり・繰り下がりはない。
よって$$b_n=\left\{{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{5}}\right\}+{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}(n\geqq 2)\mathrm{.}$$(3)
${\alpha }_n$ の小数部分は4項の和が2であり、100項では50になる。ただし第1項では
$4\mathrm{/}5+1\mathrm{/}5=1$ となるため $4\mathrm{/}5$ を引く。さらに$$\sum _{n=2}^{100}{\displaystyle \frac{1}{5}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{n-1}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2^{99}}})\mathrm{.}$$したがって$$\sum _{n=1}^{100}{b}_n=50-{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{15}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2^{99}}}),$$これは49より大きく50より小さい。よって整数部分は$$49.$$