東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$A$ での待ち時間を $w$ とする。条件より $w=0,1,2$ がそれぞれ確率 $1\mathrm{/}3$ で起こる。 $A$ 発 $B$ 行きと $B$ 発 $C$ 行きは同時刻に3分おきに発車する。したがって、$A$ から $B$ までの乗車時間が8分のとき、$B$ 到着は発車時刻から8分後であり、これは3分周期で見ると2分後である。よって次の $C$ 行きまでの待ち時間は1分である。

同様に、$A$ から $B$ までの乗車時間が10分のとき、3分周期で見ると1分後に到着するので、$B$ での待ち時間は2分である。

したがって、$A\to B$ の乗車時間と $B\to C$ の乗車時間に応じて、$w$ を除いた時間は次のようになる。$$\begin{array}{cccc}A\to B& B\text{での待ち時間}& B\to C& w\text{を除いた時間}\\ 8& 1& 6& 15\\ 8& 1& 7& 16\\ 10& 2& 6& 18\\ 10& 2& 7& 19\end{array}$$これら4通りはそれぞれ確率 $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ で起こる。また $w=0,1,2$ は独立に確率 $1\mathrm{/}3$ で起こるので、表の各行と各 $w$ の組は確率 $1\mathrm{/}12$ である。

したがって総時間は $15+w,16+w,18+w,19+w$ である。これを数えると$$P(15)={\displaystyle \frac{1}{12}},P(16)={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}},P(17)={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}},$$$$P(18)={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}},P(19)={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}},P(20)={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}},$$ $P(21)={\displaystyle \frac{1}{12}}$ である。それ以外の整数 $n$ については $P(n)=0$ である。

所要時間の合成

総時間の確率母関数を作る。$A$ での待ち時間の多項式と、2区間の乗車時間および $B$ で決まる待ち時間の多項式を掛け、各次数の係数を読む。同じ時刻へ至る複数経路は係数の加算として自動的にまとまる。

最初のバスが8分かかると、3分周期では到着が2分ずれるため $B$ で1分待つ。10分かかると1分ずれるため2分待つ。したがって、$A$ での待ち時間を除いた所要時間は$$15,16,18,19$$であり、それぞれ確率 $1\mathrm{/}4$ である。

$A$ での待ち時間の確率母関数は$$W(z)={\displaystyle \frac{1+z+z^2}{3}},$$残りの時間の確率母関数は$$R(z)={\displaystyle \frac{z^{15}+z^{16}+z^{18}+z^{19}}{4}}$$である。独立性より総時間の確率母関数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W(z)R(z)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}(1+z+z^2)(z^{15}+z^{16}+z^{18}+z^{19})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{12}}(z^{15}+2z^{16}+2z^{17}+2z^{18}+2z^{19}+2z^{20}+z^{21})\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$P(15)=P(21)={\displaystyle \frac{1}{12}},$$$$P(16)=P(17)=P(18)=P(19)=P(20)={\displaystyle \frac{1}{6}},$$それ以外の整数 $n$ では $P(n)=0$ である。