東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
3人で1回じゃんけんをする。全事象は $3^3=27$ 通りである。1回目で勝者が決まるのは、1人だけが勝つ場合、すなわち同じ手を出した2人が負け、残り1人が勝つ場合である。勝つ手の種類が3通り、勝つ人の選び方が3通りあるので $9$ 通りである。したがって確率は ${\displaystyle \frac{9}{27}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

(2)
1回目で勝者が決まらず、2回目で決まる場合を考える。1回目の後に3人のまま残る、つまりあいこになる確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。また1回目に1人だけが負けて2人状態になる確率も ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

2回目で決まる確率は、3人状態からなら $1\mathrm{/}3$、2人状態からならあいこでない確率 $2\mathrm{/}3$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

(3)
3回目の直前に3人状態である確率は、最初の2回とも3人のあいこである確率なので $${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ である。3回目の直前に2人状態である確率は、1回だけ3人状態から2人状態へ移り、その後は2人であいこをしている場合である。これは $${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$$ である。したがって3回目で決まる確率は$${\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{5}{27}}$$である。

(4) $n\geqq 4$ とする。$n$ 回目の直前に3人状態である確率は、最初の $n-1$ 回がすべて3人のあいこである確率なので ${\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}$ である。

次に、$n$ 回目の直前に2人状態である確率を求める。最初の $j-1$ 回は3人のあいこ、$j$ 回目で1人が脱落し、その後 $n-1-j$ 回は2人であいこ、という形になる。各確率はいずれも $1\mathrm{/}3$ なので、$j=1,2,\dots ,n-1$ のどの場合も確率は ${\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}$ である。よって2人状態である確率は ${\displaystyle \frac{n-1}{3^{n-1}}}$ である。

したがって、$n$ 回目で勝者が決まる確率は$${\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{n-1}{3^{n-1}}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2n-1}{3^n}}$$である。

条件・検算

3人状態・2人状態・勝者決定の3状態を区別し、各回で確率の総和が1になることを確認した。

各回の直前に3人残っている確率を $T_n$、2人残っている確率を $U_n$ とする。状態遷移から連立漸化式を作り、$n$ 回目に勝者が決まる確率を ${\displaystyle \frac{1}{3}}{T}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{U}_n$ と表す。

第 $n$ 回の直前に3人残っている確率を $T_n$、2人残っている確率を $U_n$ とする。初めは$$T_1=1,U_1=0.$$3人じゃんけんでは、3人のまま、2人へ移る、勝者が決まる確率がそれぞれ
${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。2人じゃんけんでは、2人のままの確率が
${\displaystyle \frac{1}{3}}$、勝者が決まる確率が ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。したがって$$T_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{T}_n,U_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{T}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{U}_n\mathrm{.}$$第1式から$$T_n={\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}}}\mathrm{.}$$第2式に代入し、$V_n=3^{n-1}{U}_n$ とおくと$$V_{n+1}=V_n+1,V_1=0$$だから$$U_n={\displaystyle \frac{n-1}{3^{n-1}}}\mathrm{.}$$第 $n$ 回に勝者が決まる確率を $p_n$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{T}_n+{\displaystyle \frac{2}{3}}{U}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2n-1}{3^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって各設問の答えは$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle (1)}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}},}& {\displaystyle (2)}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}},}\\ {\displaystyle (3)}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{27}},}& {\displaystyle (4)}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{2n-1}{3^n}}}\end{array}$$である。